Los modelos de producción (también llamados modelos de producción general, modelos globales, modelos sintéticos o modelos de Lotka-Volterra) consideran el stock en su globalidad, es decir, no toman en consideración la estructura del stock por edades o por tallas.
La biomasa total de un stock no explotado, no puede crecer más allá de un cierto límite. El valor de ese límite depende, para cada recurso, del espacio disponible, de la accesibilidad de alimentos, de la competición con otras especies, etc., en resumen, depende de la capacidad del ecosistema para mantener el stock en el que habita. Este límite es denominado Capacidad de Carga, k.
La biomasa total de un recurso pesquero no-explotado tiene tendencia a crecer hasta su capacidad de carga, k, con una tasa, tia(Bt), que no es constante. La tasa, tia(Bt), es reducida cuando la biomasa es pequeña, crece cuando la biomasa crece y disminuye de nuevo cuando la biomasa se aproxima a la capacidad de carga. Conviene señalar que la biomasa puede sufrir alteraciones, incluidas disminuciones, debido a fluctuaciones en los factores naturales, aunque, en cualquier caso, la tendencia será siempre creciente hasta alcanzar su capacidad de carga.
Así, se puede sugerir que ni la tia(Bt) ni la tir(Bt) son constantes.
Tal como se hizo con la suposición básica de crecimiento individual, se define una función H de Bt, para la evolución de un recurso pesquero no explotado («natural»), de tal modo que se pueda adoptar la siguiente suposición básica:
r suele ser llamada tasa intrínseca de crecimiento de Bt. De esta expresión se puede deducir, matemáticamente la tir(Bt), que es la tasa que interesa para el desarrollo de los modelos.
Cuando el stock es explotado, conviene separar la tir(Bt) en dos componentes, o sea, la tir(Bt) debido a la pesca y la tir(Bt) debido a todas las otras causas, llamada tir(Bt) natural. Así la suposición básica tomará la siguiente forma:
De tal forma que, se puede decir que, en un intervalo de tempo Ti donde el nivel de pesca sea constante:
Por tanto, en el intervalo Ti, será:
La tir(Bt), la cual, conforme a la suposición básica de la evolución natural de la biomasa, B, resulta una función de la biomasa, Bt, se suele representar como f(Bt).
Comentarios
1. Históricamente los modelos de producción fueron los primeros modelos en ser utilizados en los análisis de la evolución de poblaciones biológicas, Lotka-Volterra (1925–1928).
2. Schaefer (1954) aplico por primera vez un modelo de producción a un stock pesquero sometido a explotación.
3. La capacidad de carga, k, en la biología pesquera es conocida como B¥y como Bo. En la actualidad se acostumbra a utilizar el símbolo k (no se debe confundir con el símbolo, K, de los modelos de crecimiento individual o de la relación S-R).
4. La suposición básica sobre la tir(Bt) debida a causas naturales, referida anteriormente puede ser formulada matemáticamente de diversas maneras.
5. Los modelos de producción, consideran la biomasa en su globalidad y no toman en consideración la estructura por edades o tamaños, solo pueden ser utilizados para analizar efectos de alteraciones del nivel de pesca y no del patrón relativo de explotación.
Las tasas instantáneas «total»,
«natural» y por «pesca» pueden, en la práctica, ser
aproximadas mediante tasas medias relativas, tmr(Bt). En efecto se
puede decir que tmr(Bt) @
tir(Bt) con respecto a la media Bi. Esta relación
es exacta en el caso del modelo exponencial cuando tir(B) es tomada en
relación a la media
(
).
Así, tomando las tasas medias como aproximación de las tasas instantáneas en la siguiente expresión general:
resulta:
en relación a
o
y
Así, la variación de la biomasa debida a todas las causas de mortalidad queda decompuesta en la variación debida a la mortalidad natural y la debida a la mortalidad por pesca:
o
La situación de equilibrio en el intervalo Ti implica que la biomasa del stock al final del intervalo Ti (generalmente 1 año) sea igual a la biomasa al inicio del mismo intervalo, es decir, que la variación final de la biomasa sea cero.
Entonces, aproximando las tasas instantáneas mediante tasas medias, en condiciones de equilibrio durante Ti, será DBi=0 y también tmr(Bt)=0. Así, una condición de equilibrio será:
Las condiciones de equilibrio acostumbran a denominarse con el subíndice E. De forma que:
En la práctica no siempre se dispone
de
y Fi y, por
ello, se buscan valores asociados a la biomasa, B, y al nivel de pesca, F, mas
concretamente, que sean indicadores de la biomasa y del nivel de pesca. Es
aconsejable considerar preferentemente valores proporcionales a esos
parámetros (llamados índices).
Si 
es el
índice de la biomasa
media,
, durante el intervalo
de tiempo T entonces:
y llamando f al índice de mortalidad por pesca, durante el intervalo de tiempo T tenemos:
f = const.F.T
de
y
tendremos
Con lo cual, para que
Deberá ser
Un índice
de
, bastante común,
es la captura por unidad de esfuerzo (cpue). Como índice de F se utiliza
el esfuerzo de pesca en las unidades apropiadas, de tal modo que sea
proporcional al nivel de pesca.
La constante de proporcionalidad, q, es llamada coeficiente de capturabilidad y indica la fracción de la biomasa que es capturada por unidad de esfuerzo.
Para estos modelos también se pueden definir puntos de referencia biológica.
Se acostumbra a designar por FMSY al valor de F que corresponde a la captura máxima, Y.
FMSY es diferente de Fmax. En efecto, FMSY maximiza la Captura en peso, en tanto que Fmax, maximiza la Captura en peso por Recluta. Cabe señalar que en un modelo de producción no se puede calcular Fmax, ya que la estructura por tamaños del stock (y por tanto el reclutamiento, R) es considerada desconocida por estar implícita en las suposiciones básicas del modelo.
Cabe destacar que FMSY en los modelos estructurales es diferente de FMSY en los modelos de producción. Basta considerar que la relación S-R así como el coeficiente de mortalidad natural, M, están implícitos en los modelos de producción, por lo cual no pueden ser explicitados.
La comparación o la combinación de los resultados de los dos tipos de modelos deberán tomar en consideración las diferentes suposiciones básicas en que se basa cada modelo.
Por las mismas razones, F0.1 de los modelos de producción constituye un concepto diferente de F0.1 de los modelos estructurales.
Para calcular F0.1, B0.1 e Y0.1 en los modelos de producción, se puede proceder de modo semejante al usado en el caso de los modelos estructurales, aunque es preferible recurrir a las relaciones constantes entre los puntos de referencia 0.1 y MSY (Cadima, 1991).
Los modelos de producción mas usados en las avaluaciones de los recursos pesqueros son el modelo de Schaefer (1954), el modelo de Fox (1970) y el modelo de Pella y Tomlinson (1969), también llamado GENPROD (nombre del programa que los autores elaboraron para la aplicación de su modelo). Fox menciona que la elaboración de su modelo se basó en una idea de Garrod (1969).
A cada uno de estos modelos corresponderá una función particular de H(Bt) en la suposición básica.
6.7.1 MODELO DE SCHAEFER
Para este modelo de producción la función H(Bt) de la suposición básica será:
Tasa instantánea relativa, tir(Bt), debida a causas naturales
Partiendo de la expresión de la suposición básica general obtenemos:
y por tanto la tasa instantánea de variación de la biomasa «natural» puede ser deducida matemáticamente da la expresión:
Condiciones de equilibrio
Aproximando la tir(Bt) mediante la
tmr(Bt), en relación
a
, obtenemos:
y, como en equilibrio
, las condiciones de
equilibrio pueden ser expresadas como:
BE = k. (1- FE / r)
YE = FE.
.Ti
Nótese
que
es lineal en
relación a FE y que para FE = 0, tenemos que
= k = biomasa
virgen.
Gráficamente, la relación
entre
y FE
configura una recta en la que la ordenada en el origen es igual a k y la
pendiente es igual a -k/r.
Punto objetivo, FMSY
Durante 1 año, las condiciones de equilibrio pueden expresarse como:
YE = FE.
= k. (1 - FE / r)
Con lo que Y máximo se producirá cuando dY/dF=0. Derivando la expresión anterior de YE respecto a F e igualando a cero, tendremos:
Punto objetivo, FMSY (Schaefer)
FMSY = r/2
BMSY = k/2
YMSY = rk/4
En efecto la derivada
dY/dF =
+ F (dB/dF)
o dY/dF = k(1- F/r) + F (- k/r) = k - 2k.F/r
y, por tanto, FMSY = r/2
las restantes relaciones se obtienen substituyendo este resultado en condiciones de equilibrio.
Punto objetivo, F0.1
Se demuestra que el cociente entre F0.1 y FMSY es constante e igual a 0.90. Así, se puede concluir que:
Punto objetivo, F0.1 (Schaefer)
F0.1/ FMSY = 0.90 B0.1 /BMSY = 1.10 Y0.1 /YMSY = 0.99
De hecho, como se vio anteriormente dY/dF = k - 2k.F/r y, como F0.1 corresponde a
dY/dF = 0.1k:
0.1k = k - 2kF0.1/r
o 0.90 = 2 F0.1/r
o 0.90 =F0.1/FMSY
Índices de abundancia,
, y índices de
nivel de pesca, f
Como se vio en la Sección 6.5 se supone que los
índices
y f
son proporcionales a
y F.
Para este modelo la condición de equilibrio se podrá escribir de
la siguiente forma:
= a + b.fE
e
YE = fE.
(a, b son constantes).
El punto objetivo, fMSY, se puede obtener igualando a cero la derivada de YE respecto a fE:
Punto objetivo, fMSY (Schaefer)
fMSY = -a/(2b)
= a/2
YMSY = - a2/(4b)
En los modelos de producción, los cocientes
f0.1/fMSY y
son iguales a los cocientes
F0.1/FMSY y
. Con lo cual en el caso del
modelo de Schaefer:
Punto objetivo, f0.1 (Schaefer)
f0.1/ fMSY = 0.90
= 1.10
Y0.1 /YMSY = 0.99
De 
, de
FT=q.f y de las expresiones anteriores de los puntos objetivo relativos a
FMSY y fMSY también podemos obtener las relaciones
de los parámetros k y r con los coeficientes a, b y q:
k = a/q
r = - aq/(bT)
kr = - a2/(bT)
Cuando el valor del intervalo T es de un año, T no aparece en las expresiones anteriores. Estas expresiones permiten calcular los parámetros del modelo, k y r, siempre que se conozca el valor del coeficiente de capturabilidad, q. Cabe indicar que el producto k.r no depende de q.
6.7.2 MODELO DE FOX
Para el modelo de producción de Fox la función H(Bt) será:
H(Bt) = ln(Bt)
Tasa instantánea relativa, tir(Bt), debida a causas naturales
De la expresión de la suposición básica general para el modelo de Fox obtenemos:
tirnatural [lnk -lnB]= - r
y por tanto, como se indico anteriormente, la tasa instantánea de variaión de la biomasa «natural» puede ser deducida matemáticamente de aquella expresión y, en tal caso, escrita como:
Condiciones de equilibrio
La condición de equilibrio de la biomasa puede expresarse como
y, por tanto, las condiciones de equilibrio serán:
Nótese que
es lineal con FE
y que para FE = 0,
= k = biomasa
virgen.
La relación entre
ln(
) y FE es
lineal, con ordenada en el origen = lnk y pendiente = -1/r.
Punto objetivo, FMSY
Derivando YE respecto a F e igualando la derivada a cero:
FMSY = r
BMSY = k/e
YMSY = rk/e
Punto objetivo, F0.1
En este modelo el cociente entre F0.1 y FMSY es constante e igual a 0.7815. Así, se puede concluir que:
F0.1/ FMSY = 0.7815
B0.1 /BMSY = 1.2442
Y0.1 /YMSY = 0.9724
Estos resultados se obtienen de modo semejante al del modelo de Schaefer. La ecuación a resolver será:
lo que exige métodos iterativos para encontrar F0.1/r. La solución será F0.1/r = 0.7815 o igual a F0.1/FMSY.
Índices de
abundancia,
, e
índices de nivel de pesca, f
Para el modelo de Fox la condición de equilibrio podrá ser escrita como:
o
ln
= a + b.f (a, b son constantes)
y
YE = fE.
Punto objetivo, fMSY
El punto objetivo, fMSY, se puede obtener igualando a cero la derivada de YE respecto a fE
fMSY = -1/b
= ea/e
YMSY = - ea/be
Punto objetivo, f0.1
Los cocientes f0.1/fMSY y
son, en el caso del
modelo de Fox, iguales a F0.1/FMSY y
/
y, por
tanto:
f0.1/ fMSY = 0.7815
= 1.2442
Y0.1 /YMSY = 0.9724
De 
= q.
y de FT=q.f se puede
concluir que:
k = ea/q r = - q/(bT) kr = - ea/(bT)
Si el valor del intervalo T es de un año, T no aparece en las expresiones. La última expresión permite calcular el producto k.r. Para calcular k y r separadamente es necesario conocer el valor del coeficiente de capturabilidad, q, y utilizar las otras dos expresiones.
6.7.3 MODELO DE PELLA Y TOMLINSON (GENPROD)
Para este modelo de producción la función H(Bt) será:
Tasa instantánea relativa, tir(Bt), debida a causas naturales
De la expresión de la suposición básica general obtenemos, para el modelo GENPROD:
donde
Condiciones de equilibrio
En equilibrio será FE =
f(
) = (r / p).[1 - (k
/
)-p]
y, por tanto, las condiciones de equilibrio pueden expresarse como:
= k. [1 -
p. FE / r]1/p YE = FE.
. Ti
Nótese que la relación entre
(
)p y
FE es lineal con la ordenada en el origen igual a k y la pendiente
igual a -pk/r. Por tanto para FE = 0,
= k = biomasa
virgen
Punto objetivo, FMSY
Derivando YE respecto a F e igualando la derivada a cero:
Punto objetivo, FMSY (Pella y Tomlinson)
Punto objetivo, F0.1
El cociente entre F0.1 y FMSY es constante para cada valor de p y se puede obtener de modo semejante a los casos anteriores. La ecuación a resolver por iteraciones seria:
X= 1 - 0.1.[1-p/ (1+p).X]1/p donde X=F0.1/ FMSY
y también
B0.1/ BMSY = [1+p - p./ (1+p).X](1+1/p)
Y0.1/ YMSY = [F0.1/ FMSY].[ B0.1/ BMSY]
La Tabla siguiente resume los resultados más importantes:
| |
parámetro p |
F0.1/FMSY |
B0.1/BMSY |
Y0.1/YMSY |
|
Fox |
0.0 * |
0.781521 |
1.244182 |
0.972355 |
|
0.2 |
0.819995 |
1.193441 |
0.978616 |
|
|
0.4 |
0.848355 |
1.158613 |
0.982915 |
|
|
0.6 |
0.869888 |
1.133469 |
0.985991 |
|
|
0.8 |
0.886657 |
1.114599 |
0.988268 |
|
|
Schaefer |
1.0 * |
0.900000 |
1.100000 |
0.990000 |
|
1.2 |
0.910816 |
1.088420 |
0.991350 |
|
|
1.4 |
0.919724 |
1.079045 |
0.992424 |
|
|
1.6 |
0.927165 |
1.071323 |
0.993293 |
|
|
1.8 |
0.933457 |
1.064867 |
0.994008 |
|
|
2.0 |
0.938835 |
1.059401 |
0.994602 |
|
|
2.2 |
0.94377 |
1.054720 |
0.995704 |
|
|
2.4 |
0.947516 |
1.050674 |
0.995531 |
|
|
2.6 |
0.951059 |
1.047146 |
0.995898 |
|
|
2.8 |
0.954188 |
1.044045 |
0.996216 |
|
|
3.0 |
0.956969 |
1.041302 |
0.996494 |
Nótese que (F0.1/FMSY) + (B0.1/BMSY) @ 2. Con este resultado se puede afirmar que cuando F0.1 es menor que un cierto porcentaje de FMSY, la relación equivalente de las biomasas será mayor y aproximadamente en el mismo porcentaje.
Índices de
abundancia,
, e
índices de nivel de pesca, f
Para el modelo de Pella y Tomlinson la condición de equilibrio se podrá escribir como:
= (a + b.f)1/p o
p= (a + b.f) (a, b son constantes)
YE = fE.
El punto objetivo, fMSY, se puede obtener igualando a cero la derivada de YE respecto a fE:
Punto objetivo, fMSY
fMSY = -a/(b(1+1/p))
= (a/(1+p))1/p
YMSY = -(p/b).(a/(1+p))(1+1/p)
Los cocientes f0.1/fMSY y
serán iguales a los
cocientes F0.1/FMSY y
/
,
respectivamente. Estos últimos cocientes se incluyen en la Tabla
anterior.
También se pueden obtener los valores de k, r y kr
a partir de
= q.
, y de F.T=q.f
k = (1/q) a1/p
r = - aqp/(bT)
kr = (-p/bT)a(1+1/p)
Cuando el tamaño del intervalo es de un año, T no aparece en las expresiones. La última expresión de la tabla anterior permite calcular el producto k.r. Los valores separados de k y r pueden calcularse conociendo el valor del coeficiente de capturabilidad, q.
Comentarios
1. El modelo de Pella y Tomlinson ha sido criticado en su aplicación práctica por producir, a veces, los mejores ajustes con valores no creíbles del parámetro p, resultando valores extremamente elevados de FMSY.
2. También es conveniente tener en cuenta que p, parámetro adicional del modelo, es representado por símbolos diferentes según los autores.
3. Los valores de los puntos de referencia biológica relativos a F, estimados por el modelo de Schaefer, son mas restrictivos que los estimados por los restantes modelos de producción.
6.8.1 MÉTODOS GENERALES
Los modelos de producción han sido utilizados en la pesca para las proyecciones a LP. Prácticamente es a partir de los años 1990's que se han desarrollado métodos de aplicación de los modelos de producción para proyecciones a corto plazo, CP. Estos métodos toman como base las expresiones de Schaefer, de Fox y de Pella y Tomlinson para la evolución de la biomasa no explotada.
Como se planteo en la Sección 6.3 la variación de la biomasa durante 1 año puede expresarse, de un modo general, como:
|
|
|
|
o |
Bi+1=Bi +
|
|
donde |
Bi = biomasa al inicio del año i |
|
|
Bi+1= biomasa al final del ano i |
|
|
|
|
|
Yi = captura en peso durante el año i |
f(
) es la
aproximación de la tasa media de variación «natural» de
la biomasa, relativa a 
,
durante el año i.
La expresión de la variación de la biomasa sirve de base a la mayoría de los métodos de proyección a CP. Existen programas de computador para la aplicación de estos métodos, que también determinan proyecciones a LP, puntos de referencia biológica, etc. Como ejemplos se pueden citar CEDA y BYODIN, producidos por Rosenberg et al. (1990) y por Punt y Hilborn (1996) respectivamente.
Teóricamente estos métodos suponen que
e Yi son
conocidos durante un período de años. La función
f(
) puede ser la de
Schaefer, la de Fox, o la de Pella y Tomlinson.
Para determinar los parámetros r y k seria necesario
adoptar una de las expresiones
f(
) y el valor B1
del primero intervalo del período de tiempo.
El la práctica no se dispone de las biomasas medias
anuales, sino solo de cantidades asociadas, supuestamente proporcionales a las
biomasas medias o sea a los índices Ui
=q.
. De este modo
serán 3 los parámetros a estimar, r, k y q (ver Capitulo
7).
La función objetivo a minimizar puede ser F = S (Uobs -
Uest)2, o sea, la suma de los cuadrados de los errores
entre los valores observados y estimados (lo que llamamos error del
proceso). No obstante, cuando se utilizan los valores de U observados y se
supone que la relación U=q.
no es determinista, pero conlleva un error, llamado error de
observación, (estimado. En este caso es preferible adoptar la
función objetivo F = S(lnUobs - lnUest)2
(Punt y Hilborn, 1996).
6.8.2 MÉTODO DE PRAGER (1994)
Prager (1994) no utilizo la expresión básica inicial como tasa media, sino la tasa instantánea relativa de variación de la biomasa en el año i y adopto el modelo de Schaefer, o sea,
tir(Bt) = r[1 - Bt / k]. Bt - Fi. Bi
Integro esta expresión durante el año i y obtuvo la relación entre Bi+1 y Bi
Por otro lado calculo la biomasa
media,
, durante el
año i integrando Bt entre ti y ti+1.
Finalmente calculo la captura en peso como:
Yi= Fi
.
La estimación de los parámetros puede entonces realizarse de modo semejante a los métodos anteriores. El programa de computador preparado para ello se llama ASPIC (Prager, 1995).
6.8.3 MÉTODO DE YOSHIMOTO Y CLARKE (1993)
Las proyecciones a CP serán derivadas de la suposición básica de los modelos de producción definida como:
|
|
|
|
o, representando la |
|
|
|
|
Así, integrando esta expresión para el intervalo de tiempo Ti y dado que
|
|
tir(Bt) = tia ln(Bt) |
y considerando Ft = Fi =constante |
|
|
|
|
|
|
ln (Bi+1) - ln (Bi) = f(Bt)
cumi - Fi Ti =
|
|
Para el intervalo Ti+1 siguiente (que es el intervalo donde se pretende proyectar el stock y la captura) seria:
ln (Bi+2) - ln (Bi+1) =
(Bt+1).Ti+1 - Fi+1.Ti+1
Con el fin de calcular la media aritmética simple de las expresiones anteriores para los intervalos Ti y Ti+1, para el primer miembro tendremos:
1/2[ln (Bi+1) + ln (Bi+2)] - 1/2[ln (Bi) + ln (Bi+1)] = ln(
*i+1) - ln(
*i)
donde
*i
es la media geométrica de Bi y Bi+1,
y
*i+1
es la media geométrica de Bi+1 y Bi+2.
Así, la media de las dos expresiones será finalmente:
ln(
*i+1) - ln(
*i) = (1/2) {
(Bi) Ti +
(Bi+1) Ti+1 } - (1/2) {Fi Ti + Fi+1 Ti+1}
En el caso del modelo de Fox, es, como vimos, f(Bt)
= r (lnk - lnBt) y, por tanto,
(Bi) puede
escribirse como:
r[lnk- ln(
*i)]
donde
*i
es la media geométrica de Bi y Bi+1.
En este caso, la expresión anterior, relativa a las medias geométricas, podrá rescribirse como:
ln (
*i+1) - ln (
*i) =
= (1/2) { r(lnk- ln(
*i)) Ti + r(lnk- ln(
*i+1)) Ti+1 } - (1/2) {Fi Ti + Fi+1 Ti+1}
Para simplificar y, porque normalmente los intervalos de Ti son constantes e iguales a un año, en lugar de usar Ti y Ti+1 se usa simplemente T y la expresión será:
ln(
*i+1) - ln (
*i) = (rT/2) { lnk- ln(
*i) + lnk- ln(
*i+1) }- (1/2) {Fi T + Fi+1 T}
y reorganizando los términos, resulta:
(1 + rT/2). ln (
*i+1) = rT lnk + (1- rT/2) ln(
*i) - (T/2) (Fi + Fi+1)
Finalmente, se puede escribir la expresión del siguiente modo:
ln (
*i+1) = 2rT/(2+rT). lnk + (2- rT)/(2+rT). ln(
*i) - T/(2+rT). (Fi + Fi+1)
Como se vio en las proyecciones a LP (o en equilibrio) es mas
común disponer de índices de
biomasa,
, y del nivel de
pesca f, que de valores de
y
F.
Usando los índices
=
q
y qf = FT
Se puede escribir la expresión de Yoshimoto y Clarke (1993):
En la práctica, resulta útil escribir la expresión anterior de la siguiente forma:
ln
= b1 + b2. ln
+ b3. (fi + fi+1)
donde:
A partir de los coeficientes b1, b2 y b3 se pueden estimar los parámetros q, r y k (recuérdese que en las proyecciones a LP no era posible obtener q aisladamente). Así:
q = -4b3/(1+b2)
r = 2(1-b2) / T(1+b2)
k = ((1+b2)/(-4b3)).eb1/(1-b2)
Comentarios
1. Debe quedar claro que el hecho que se haya desarrollado en este manual el modelo de Yoshimoto y Clarke para las proyecciones a CP no significa preferencia especial de este sobre otros modelos en las proyecciones a CP.
2. Yoshimoto y Clarke llamaron a su expresión, expresión integrada de Fox, por basarse en la integración directa de la suposición básica.
3. Nótese que
(Bi) y
(Bi+1) son, en
general, diferentes de f (
)
y f (
).
En cambio, las medias de f() pueden considerarse iguales a f(medias de B) si se utiliza otro tipo de media de B.
Definción
de
*
según una función
Considere n valores Bi y la media aritmética simple de f(Bi), es decir,
f(B) =(1/n). S f(Bi)
Sea
*
un valor tal que
f(
*)
=
(B).
* es definida como la media de Bi según la función f.
EJEMPLOS
4. Si f(B) = ln(B),
ln(
*) =
(1/n). Sln(Bi) y
así
* es la media de
los valores Bi según la función logaritmo neperiano,
también llamada media geométrica de los valores
Bi
5. En el caso que f(B) = B-1, entonces
(
*)-1 =
(1/n). S(Bi)-1 y
* es llamada media
harmónica de los valores Bi
6. Si f(B) = B-p entonces
(
*)-p
=(1/n). S(Bi)-p y
* es llamada media de orden
(-p) de los valores Bi.
7. Otra aproximación (Cadima & Pinho, 1995) de la ecuación integrada de Fox puede ser:
ln
= b1 + b2. ln
+ b3. (fi + fi+1)
|
donde: |
b1= (1-e-rT) ln(qk) |
|
|
|
b2= e-rT r |
T= - lnb2 |
|
|
b3= - q(1-e-rT) / (2rT) |
|
Esta última aproximación es deducida a partir de la transformación de la suposición básica de Fox, en el intervalo Ti, resultando la siguiente expresión:
Esta expresión puede transformarse en tir[r.ln k - r.ln Bt - Fi] = - r lo que significa, como se sabe, que la función (r.ln k - r.ln Bt - Fi) sigue un modelo de Fox en que la constante es -r.
En efecto calculando la tia a partir de la suposición básica anteriormente transformada:
tia[ r.(ln k - ln Bt) - Fi ] = - r.tir(Bt)
Utilizando de nuevo la expresión de la tir(Bt) de la suposición básica transformada:
otia[ r.(ln k - ln Bt) - Fi] = -r. [ r.(ln k - ln Bt) - Fi ]
Finalmente, por definición de la tir:
tir[ r.(ln k - ln Bt) - Fi ]= -r
Por tanto, el valor final de (r.ln k - r.ln Bt - Fi), puede expresarse como:
(r.ln k - r.ln Bi+1 - Fi) = (r.ln k - r.ln Bi - Fi). e-r.Ti
o
ln Bi+1 = (1- e-r.Ti).ln k + e-r.Ti.ln Bi - (1- e-r.Ti).Fi/r
En el intervalo siguiente, Ti+1, seria:
ln Bi+2 = (1- e-r.Ti+1).ln k + e-r.Ti+1.ln Bi+1 - (1- e-r.Ti+1).Fi+1/r
por tanto, la media de las dos expresiones anteriores, considerando Ti=Ti+1=T será:
ln
* = (1- e-r.T).ln k + e-r.T. ln
*- ((1- e-r.T) / 2r).(Fi+Fi+1)
donde
* = media
geométrica de Bi y Bi+1 y
* = media
geométrica de Bi+1 y Bi+2.
Usando los
índices
=
q.
* y
qfi = FiT resulta:
ln
= (1- e-r.T).ln (qk) + e-r.T. ln
- ((1- e-r.T)/2rT).q(fi+fi+1)
que es equivalente a la expresión inicial de este último comentario.
.f(
).Ti
- Yi
por
f(Bt)
(Bt) Ti
- Fi Ti
