A. El Idrissi, Doctorant à l'Université catholique de Louvain
E. Persoons, Professeur à l'Université catholique de Louvain, Faculté des sciences agronomiques, Louvain la Neuve, Belgique
Dans le contexte actuel de la politique de gestion durable de notre environnement, la compréhension de l'évolution des phénomènes naturels ou anthropiques est d'importance capitale pour une meilleure gestion des ressources. A cet égard, la modélisation hydrologique est un outil indispensable.
Dans le cadre du travail présenté ici, une méthodologie originale a été développée pour l'analyse qualitative et pour l'évaluation quantitative de l'impact de l'évolution des caractéristiques physiques d'un bassin sur le régime d'une rivière. Ce modèle hydrologique maillé, baptisé « MHM », répond à un double objectif. D'une part, sa fonction proprement hydrologique consiste à simuler les hydrogrammes de crues exceptionnelles pour le dimensionnement d'ouvrages d'art . D'autre part, vu qu'il est basé sur la répartition spatiale de ses paramètres selon la variabilité des caractéristiques physiques du bassin, il permet le suivi de la modification du régime des crues en fonction de l'évolution spatio-temporelle de l'environnement suite à un phénomène naturel ou due à l'activité humaine.
In the present context of a policy for a sustainable management of the environment, understanding the evolution of natural and human phenomena is highly important in order to improve resource management. To this end a hydrological model is an essential tool.
An original methodology is presented in this paper. It was developed for the qualitative analysis and quantitative evaluation of the impact of the evolution of the physical characteristics of a basin on the regime of a river. This meshed hydrological model, named « MHM », is directed at two objectives. On the one hand, its hydrological function consists of simulating exceptional flooding for the evaluation of the structures needed. On the other hand, in view of the fact that it is based on the distribution of the parameters in accordance with the physical characteristics of the basin, MHM makes it possible to observe the modification of the flow rate with the spatial and temporal evolution of the environment following a natural phenomenon or human activities.
Le MHM a été conçu et élaboré au départ par Batardy, au début des années quatre-vingt à l'Unité de génie rural de l'Université catholique de Louvain en Belgique (Batardy, 1984), puis développé par Randriamaherisoa ( 1993) pour aboutir à un logiciel commercialisé par la firme Da Vinci Consulting.
Le MHM se base sur la discrétisation du bassin versant en mailles régulières carrées. Il fait partie des modèles déterministes qui tentent de définir les phénomènes hydrologiques par des formules mathématiques.
Le MHM est le résultat de l'utilisation combinée de deux technologies : la modélisation déterministe distribuée et la cartographie numérique (cartes numérisées ou télédétectées). Il est fondé sur l'identification de la réponse hydrologique unitaire spécifique à un bassin.
Le modèle maillé considère la maille comme unité d'analyse des phénomènes hydrologiques dans le bassin. Il suppose donc l'applicabilité des fonctions hydrologiques à l'échelle d'une maille. L'uniformité des propriétés physiques d'un même type de maille est donc la première hypothèse du modèle. L'irréalisme de cette hypothèse peut être pallié par le choix de la taille des mailles : plus la maille est petite, plus elle est uniforme. La seconde hypothèse est celle de continuité spatiale.
De par son caractère conceptuel, le modèle se base sur une série d'hypothèses simplificatrices liées à la formulation symbolique schématisant le système réel. D'une manière générale, les hypothèses de base sont la linéarité et la permanence de la fonction de production et des fonctions de transfert. Le régime permanent suppose que les paramètres de ces fonctions sont constants durant une averse.
Système linéaire et permanent de la fonction de production
Comme la fonction de production est appréhendée par la notion de coefficient de ruissellement, la condition de régime permanent n'est réaliste qu'à la saturation des différents types de réservoirs.
Système linéaire et permanent de la fonction de transfert
Quant aux paramètres de transfert, la simple translation à l'exutoire par le principe de l'isochronisme des volumes ruisselés est effectivement une fonction linéaire et permanente. On suppose, par ce principe, que les vitesses de transfert sont constantes et que le volume à transférer ne subit pas de déformation (laminage). Or, physiquement, les vitesses sont fonction de la hauteur d'eau et des caractéristiques du lieu. Les courbes isochrones devront donc être adaptées à l'importance de la crue.
La recherche de la réponse unitaire d'un système hydrologique linéaire peut être appréhendée par la théorie de la réponse impulsionnelle.
Un système est, par définition, un ensemble de règles transformant un signal d'entrée en un signal de sortie. Un système linéaire est caractérisé par les principes de proportionnalité et d'additivité. En considérant le bassin versant comme un système hydrologique, l'équation de continuité relie le stockage dans le bassin (S), le signal entrant qui est la pluie (I) et le signal sortant qui est le débit :
(1)
La réponse d'un système linéaire est nécessairement caractérisée par sa fonction
de réponse impulsionnelle. Si à l'instant 
, le système reçoit instantanément une unité
de signal entrant de durée infiniment courte (impulsion unitaire), sa réponse à
l'instant est
décrite par une fonction de réponse à une impulsion unitaire u(t-) (figure 1).
Conformément aux principes de proportionnalité et d'additivité, pour un système
d'entrée quelconque I(t), la réponse du système est donnée par l'intégrale de
convolution :
(2)
Pour l'application en hydrologie, les solutions sont attendues à des intervalles discrets car le signal d'entrée lui-même est une fonction discrétisée dans le temps comme c'est le cas de la pluie. La manipulation d'un tel signal nécessite deux autres fonctions : la fonction de réponse indicielle et la fonction de réponse à un signal discrétisé.
Un signal d'entrée en échelon unitaire passe de 0 à 1 à partir du temps 0 et
continue indéfiniment à ce niveau. La sortie du système, c'est-à-dire sa fonction de
réponse à un échelon unitaire g(t), est obtenue à partir de l'équation (2) en
considérant I() = 1 pour > 0 :
en prenant l = t - et dl = - d(3)
Un signal d'entrée discret unitaire est l'entrée de valeur unitaire en 
t de niveau :
pour 0 << t (4)
Ainsi la fonction réponse à un signal discret unitaire est :
(5)
Cette équation constitue la base de l'utilisation en hydrologie d'un système linéaire en temps discret.
Le signal d'entrée qui est la pluie, au pas de temps m t, est déterminé en représentation
discrète par :
pour m = 1, 2, 3, ... (6)
FIGURE 1
Fonction de réponse d'un système hydrologique linéaire (Chow et al. 1988)
FIGURE 2
Réponse unitaire d'un système hydrologique linéaire avec des variables discrètes
Par contre le signal de sortie, qui est le débit, est déterminé par échantillonnage en pas de temps discret pour le même pas de temps :
Qn = Q(n t)
pour n = 1, 2, 3, ... (7)
Si M est une série de signaux discrets de niveau constant, en procédant par un
changement de variable et en remplaçant la fonction h[ (n - m + 1) t ] par une
fonction d'échantillonnage discret Un-m+1, l'équation finale est :
(8)
La reconstitution de l'hydrogramme à l'exutoire du bassin se fait par la somme des produits des ordonnées de la réponse unitaire avec la hauteur de la pluie et le décalage temporel adéquat.
La fonction de production régit la transformation de la pluie brute en pluie nette destinée au ruissellement, elle constitue donc l'élément moteur des modèles hydrologiques car elle est responsable du volume de ruissellement. Il existe différentes formulations plus ou moins élaborées de la fonction de production. La plus connue et la plus simple est celle qui définit le coefficient de ruissellement comme le rapport de la lame ruisselée à la pluie brute :
(9)
où :
est la lame ruisselée
au moment t d'une maille de classe hydrologique i,
est le coefficient de
ruissellement de la classe hydrologique i,
est la pluie brute tombée dans
la même maille au moment t.
La fonction de transfert régit le transport à l'exutoire du volume ruisselé déterminé par la fonction de production. Le modèle MHM utilise une fonction de transfert résultant de la combinaison de la méthode des lignes isochrones qui détermine le délai de transfert du volume ruisselé à partir de n'importe quelle partie du bassin jusqu'à l'exutoire, et de la méthode de transfert d'ondes de crue qui régit le laminage du volume ruisselé.
Principe de l'isochronisme
La méthode des isochrones consiste à découper la surface du bassin en une série de
nIso zones A1, A2, ...Ak, ..., AnIso limitées
par des lignes d'égal temps de ruissellement jusqu'à l'exutoire. Les pluies ruisselées,
issues des zones ioschrones respectives, arrivent donc à l'exutoire successivement après
t, 2t, ... kt, ..nIsot ; t étant
l'intervalle de temps entre deux lignes isochrones.
Pour une pluie ruisselée de durée t et d'intensité IE, le ruissellement QE(k,t)
correspondant à chaque zone isochrone k au moment t est :
(10)
Pour une lame ruisselée de durée quelconque mt, le débit de ruissellement à l'exutoire à
l'instant t est constitué de la somme des ruissellements :
· de la 1ère zone isochrone A1 à l'instant t, c'est-à-dire A1 IE (t),
· de la 2ème zone isochrone A2 à l'instant précédent t-t, c'est-à-dire A2
IE (t),
· de la kème zone isochrone Ak à l'instant t-(k-1) t, c'est-à-dire Ak
IE (t-k+1),
· et ainsi de suite jusqu'à la nIso ème zone isochrone nIso
tant que chaque temps récursif
t-(k-1) t est
supérieur à 0, pour k variant de 1 à nIso.
pour (t - k + 1) > 0
(11)
Le principe de l'isochronisme ne concerne que la fonction de transfert.
Transfert d'ondes de crue amont
La relation débits amont-débit à l'exutoire est traitée par transfert d'ondes de crue. Il s'agit de la résolution de l'équation de continuité du système hydrologique dont l'entrée Qin(t) et la sortie Qout(t) sont de même nature, c'est-à-dire un débit. L'évolution du stock d'eau dans le système est exprimé par :
(12)
Bien que l'hydrogramme d'entrée soit connu, l'équation ne peut pas être résolue directement car l'évolution du stock et l'hydrogramme de sortie sont tous les deux inconnus. Une autre équation appelée fonction de stockage est donc nécessaire. D'une manière générale, elle est fonction de l'entrée et de la sortie :
(13)
Laminage des crues par un réservoir
En système discret, les données sont représentées par des mesures échantillonnées
à des pas de temps discrets. Le débit d'entrée au début et à la fin du jème
intervalle de temps de durée t sont respectivement Qin(jt) et Qin((j+1) t). Les valeurs
correspondantes pour l'hydrogramme de sortie sont Qout(jt) et Qout((j+1)
t).
Si la variation de l'hydrogramme d'entrée et de sortie durant l'intervalle de temps t est
approximativement linéaire, la variation de stock est exprimée par :
(14)
Dans cette équation, sont connus Qin(jt), Qin((j+1)t), Sj et Qout(jt) et sont inconnus
Sj+1 et Qout((j+1)t) que l'on isole par :
(15)
Dans le cas d'un réservoir, en combinant l'équation précédente avec la fonction niveau de stockage-débit sortant, le calcul des deux inconnues est fait de la manière suivante :
· la relation topographique hauteur-surface-volume donne la valeur du stock à partir de l'élévation du niveau d'eau;
· la relation hydraulique débit de sortie-hauteur d'eau donne le débit sortant suite à l'élévation du niveau d'eau ; elle est établie soit par une opération de tarage, soit en utilisant des profils types de régime hydraulique connu.
Méthode de Muskingum
Le transfert des débits amont mesurés et /ou simulés à l'exutoire des sous-bassins,
ou à la sortie des différentes formes de réservoir, est traité par la méthode de
Muskingum de transfert de débit dans une rivière. Entre les deux sections de contrôle
amont et aval, en supposant que l'aire des sections en travers est directement
proportionnelle au débit transitant, le stockage dans la rivière est divisé en deux
parties kQout et k 
(Qin-Qout) où k
est un coefficient de proportionnalité et est un facteur de pondération compris entre 0 et 0,5 (Chow et
al. 1988).
La fonction de stockage de la méthode de Muskingum, qui représente un système linéaire de transfert d'écoulement en rivière, est donnée par l'équation de continuité suivante :
(16)
Dans le cas d'une rivière naturelle, 0 > > 0,3, il est en moyenne égale à 0,2. Par
contre, le paramètre k est déterminé par le temps de transfert de l'onde à
travers la rivière (Lindsey et al. 1992).
Indicée par j au début et par j+1 à la fin de l'intervalle de temps, la variation de stock peut être également écrite de la façon suivante :
(17)
La résolution simplifiée de la combinaison des équations (14) et (17) détermine l'équation de transfert de la méthode de Muskingum écrite de la façon suivante (Cunge 1969) :
(18)
où C1, C2 et C3 sont fonction de k, et t de telle sorte
que : C1 + C2 + C3 = 1.
Les valeurs de k et de peuvent être déterminées à partir des hydrogrammes
d'entrée et de sortie mesurés. En effet, à partir des équations de variation de stock,
on peut établir la relation suivante :
(19)
En prenant différentes valeurs de et en plaçant sur un dessin le numérateur en ordonnée et
le dénominateur en abscisse, on obtient en principe des courbes en boucles. La valeur de correspondant à la
boucle fermée est retenue. La valeur de k est alors la pente de la droite
passant par le milieu de cette boucle (Gill 1978).
Le débit de la rivière est composé principalement de trois types d'écoulement :
· L'écoulement direct de surface qui représente le ruissellement. C'est un écoulement rapide.
· L'écoulement retardé souterrain, appelé débit de base. Alimenté par les nappes d'eaux souterraines, c'est un écoulement lent à cause du transit de l'eau dans le sol et le sous-sol.
· L'écoulement dit hypodermique qui sous-entend un écoulement au niveau de la couche superficielle du sol.
FIGURE 3
Les différentes méthodes de séparation des écoulements
La quantification respective de ces écoulements, connue sous le nom de séparation des écoulements, est une opération délicate. Théoriquement, le début et la fin du ruissellement seraient marqués par deux points d'inflexion. La localisation de ces points permettrait la séparation des écoulements selon l'une ou l'autre des diverses hypothèses et différentes méthodes. La plupart de ces méthodes sont plutôt subjectives.
Au lieu de retrancher systématiquement le débit de base mesuré suivant l'une ou l'autre des méthodes de la figure 3, il est laissé aux utilisateurs le soin de calculer le débit de base selon la spécificité hydrogéologique du bassin versant étudié.
Les différentes fonctions géomatiques sont regroupées dans la figure 4.
FIGURE 4
Organigramme des opérations géomatiques du modèle MHM (Randriamaherisoa 1990)
Comme l'objectif du MHM est de déterminer les réponses unitaires à partir du traitement par SIG des caractéristiques physiques du bassin et de la carte numérique des isochrones, la procédure de simulation de l'hydrogramme de crue développé est généralisée de la façon suivante :
· La fonction de production détermine, à partir des pluies brutes PE(t) à l'instant t, les lames ruisselées PE(t,i) de toutes les mailles au même instant selon le coefficient de ruissellement propre à leur classe hydrologique représentée par l'indice i.
· Après classification des mailles discrétisant le bassin versant en fonction de leurs caractéristiques physiques, on rassemble les mailles hydrologiquement similaires à l'intérieur de chaque isochrone k que l'on note nCH/Iso(k,i). Comme ces mailles ont les mêmes paramètres de production, le débit de ruissellement de l'isochrone k au moment t, QE(k,t) est donné par l'équation :
(20)
où nCH est le nombre de classes hydrologiques et Su est la surface d'une maille.
FIGURE 5
Synthèse des caractéristiques spatiales d'un bassin versant
·
Le ruissellement en fonction du temps, QR(t), est déterminé à partir du déchargement à l'exutoire du contenu en pluie ruisselée de chaque isochrone avec le décalage temporel adéquat :
pour (t - k + 1) > 0
(21)
(22)
La communauté et l'associativité des additions permettent la permutation de l'ordre des sommations :
(23)
· Le débit calculé en fonction du temps est la somme du ruissellement et du débit de base.
· Dans le contexte du MHM, qui nécessite une méthode rationnelle pour minimiser le temps de calcul, on introduit la notion des surfaces réduites. Par définition, il s'agit des surfaces équivalentes à celles des zones isochrones, mais en surfaces parfaitement imperméables. La surface réduite d'une maille de classe hydrologique i est égale à :
sr(i) = CR * Su (24)
La surface réduite de toutes les mailles de classe hydrologique i à l'intérieur de l'isochrone k est égale à :
Sr(k,i) = CR(i) * Su * nCH/Iso(k,i) (25)
La surface réduite de l'isochrone k est égale à :
(26)
L'hydrogramme du ruissellement déterminé par l'équation 23 est calculé de la façon suivante :
pour (t - k + 1) > 0
(27)
L'histogramme des surfaces réduites en fonction du temps représente réellement la réponse unitaire du bassin. Si l'intensité de la pluie est égale à l'unité, l'hydrogramme de ruissellement est représenté par l'histogramme des surfaces réduites à la conversion d'unité près. C'est pourquoi, considérer les surfaces réduites, en fonction du temps de transfert isochronique, comme la signature hydrologique du bassin n'est pas un abus de langage car elles définissent réellement l'identité hydrologique du bassin.
Si l'on dispose d'une crue unimodale bien isolée, on peut reconstituer la réponse unitaire par déconvolution et l'utiliser directement et indépendamment de la cartographie numérique.
La reconstitution des hydrogrammes de crue.
Dite aussi simulation, cette opération consiste à établir une série chronologique du débit de la rivière à l'exutoire d'un bassin à partir de la relation Pluie-Débit sur la base de pluies mesurées.
La prédétermination des crues de projet
Cette opération consiste à simuler une crue particulière correspondant à une fréquence d'occurrence donnée.
La prévision des crues
La prévision des crues consiste à déterminer le débit de la rivière à un moment donné dans le futur, à partir des données disponibles à l'instant de la prévision.
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