Por:
Julio Salazar Vejar
Ingeniero de Alimentos
Universidad Católica de Valparaíso
En una economía de libre mercado es importante para competir en forma eficiente mantener costos de producción mínimos, de tal manera que se puedan mantener los precios de los productos competitivos en el mercado, asegurando una adecuada rentabilidad de la Iinversión. La industria acuícola no es una excepción.
La importancia de contar con raciones debidamente balanceadas de costo mínimo cobra gran interés si consideramos que los costos de alimentación constituyen normalmente entre el 60 al 70% de los costos de producción en una explotación animal.
La formulación computarizada de raciones ha permitido obtener, entre otras cosas las siguientes ventajas:
Formulación rápida y precisa de raciones balanceadas y de costo mínimo.
Disminución de los costos de alimentación, producción con el consiguiente aumento de los ingresos.
Evaluación de la sensibilidad de las raciones ante el cambio de precio de los componentes.
Apoyar decisiones comerciales ante la alternativa de vender o incluir en la ración un componente de cultivo propio.
Mantener los costos de alimentos en el mínimo ante cambios de precios de los componentes cambiando la fórmula rápidamente.
La formulación de raciones de costo mínimo se realiza a través de la determinación de un Modelo Nutricional de Programación Lineal (PL) en el que se incorporan las materias primas (ingredientes) disponibles para formular, las restricciones nutritivas que debe tener la dieta resultante, las restricciones de cantidad máxima y/o mínima de algún componente si es que fuese necesario, los precios de los componentes disponibles y una restricción de consistencia de cantidad de nutrientes por unidad de medida.
Los problemas de programación lineal se refieren al uso eficiente de recursos limitados, maximizando o minimizando el objetivo deseado.
Históricamente, el problema general de P.L. fue desarrollado por primera vez en 1947 por George B. Dantzig y colaboradores del Departamento de la Fuerza Aérea de Estados Unidos. En ese año, al grupo mencionado se le encargó la posibilidad de aplicar técnicas matemáticas a la programación militar y a problemas de planificación. Este estudio llevó a Dantzig a plantear que las interrelaciones entre las actividades de una organización se pueden definir como un modelo de Programación Lineal. Posteriormente, se descubrió que también podía aplicarse en aéreas tan distintas como Agricultura, Industria Química, Comunicaciones, Industria del Hierro y del Acero, Industria Papelera, Industria de Alimentos, Análisis Económico, Programación de Producción y Control de Inventarios, Diseño de Estructuras, Problemas de Distribución, etc…
Matemáticamente consiste en la optimización de una función objetivo sujeta a condiciones límites.
El planteo del problema general es el siguiente:
Optimizar: (función objetivo)
Z = C1x1 + C2x2 + … + Cjxj + … + Cmxm
donde: x1, x2, …, xm son las variables del problema (p. ej.: materias primas);
C1, C2, …, Cm son los coeficientes de la función objetivo a optimizar (p. ej.: precio de materias primas).
sujeta a las condiciones:
| a11x1 + a21x2 + … + am1 xm | (>) 0 (=) 0 (<) b1 |
| a12x1 + a22x2 + … + am2xm | (>) 0 (=) 0 (<) b2 |
| … | … |
| … | … |
| a1nx1+ a2nx2 + … + amnxm | (>) 0 (=) 0 (<) bn |
donde: a11, a21, a31, …, amn son los coeficientes de la matriz (p. ej.: composición química)
b1, b2, …, bn son las restriccionés del problema bajo una condición (p. ej.: cantidad mínima de proteína).
Se han desarrollado varios procedimientos para resolver problemas de programación lineal, siendo el de mayor uso por su potencialidad el método Simplex.
Es una secuencia de cálculo iterativo. Tiene aplicación práctica en problemas de m variables n restricciones. Al problema planteado se le llama primal, en esencia es lo siguiente:
Planteo de una solución base.
Búsqueda de una solución factible.
Si existe solución factible continuar en paso.
Si no existe solución factible termina cálculo.
Búsqueda de la solución óptima, dos posibilidades:
Explicar en detalle la metodología Simplex escapa a los objetivos de este curso, pero si se desea profundizar sobre el tema puede consultar la bibliografía citada. Lo que si vamos a analizar son las causas por las que no hubo solución, ya que en la práctica normalmente se trabaja con programas de computadora que liberan al nutricionista de la complejidad matemática del algoritmo con los consiguientes errores humanos. (Cabe destacar que la aplicación de la Programación Lineal empezó a ser mas interesante con la llegada de los computadores, debido a que el número de cálculos para llegar a obtener una solución es bastante elevado)
Las causas por las que no se encuentra solución normalmente son dos, existiendo una tercera en la cual realmente existe solución:
Caso 1 - No existe solución factible
Se debe a que las restricciones exigidas no las puede satisfacer ninguna mezcla de componentes, o las restricciones son incompatibles entre si, como por ejemplo solicitar que el límite máximo de incorporación del componente x sea 10% y el limite mínimo del mismo componente sea un 20%.
En caso de solución no factible del problema se deben analizar las restricciones solicitadas y los componentes del modelo, incorporando en caso necesario nuevos componentes, o cambiando las restricciones en caso de ser posible. En el laboratorio práctico se verán ejemplos y se buscará la solución para este tipo de problemas.
Caso 2 - No existe límite para el óptimo
Se debe a que las restricciones exigidas son tales que la solución no converge a ningún punto, encontrando en cada iteración cada vez valores mas menores (en el caso de minimización) o valores mayores (cuando se maximiza).
Un ejemplo es maximizar dietas con todas las restricciones con condición de limite máximo, siempre se encontrará una nueva solución que satisfaga todas las condiciones nutritivas con una función objetivo cada vez mas grande. En este caso las iteraciones son infinitas. Se evita este problema diseñando un modelo convergente, o sea se debe colocar al menos una restricción condicionada en el sentido contrario a las demás.
Caso 3 - Degeneración
Además, existe otra causa que se presenta raramente en los casos prácticos de formulación, cuando dos componentes son linealmente dependientes, lo que se llama degeneración. El algoritmo en este caso queda iterando en forma cíclica las mismas soluciones sin llegar al óptimo (existe el óptimo pero no puede llegar).
Existen distintas técnicas para solucionar este problema que se presenta raramente, entre las cuales esta la de agregar pequeños incrementos a los componentes de un vector que eliminen la dependencia lineal (Técnica de la perturbación) sin alterar en forma significativa el resultado.
Al invertir la matriz del problema Simplex se transforman las anteriores restricciones en los coeficientes de la función objetivo y la anterior función objetivo se transforma en las restricciones, las condiciones mínimas son ahora máximas y cambia el sentido de la optimización, si el primal minimizaba, el dual maximiza. Los resultados de este problema indican los costos relativos de las restricciones (nutrientes) limitantes o sea, las condiciones que se satisfacen en la cantidad límite exigida, de tal manera que cualquier variación en estas restricciones causa una variación en el valor de la función objetivo y probablemente en la composición de la ración.
Se ocupa como guía para bajar aún más los costos de una solución al conocer el valor de las restricciones limitantes.
Con la información que entrega se pueden buscar componentes de reemplazo para ser incluidos en el modelo, ricos en los nutrientes limitantes, buscar suplementos y/o modificar el modelo si fuese posible.
Es información adicional que entrega el algoritmo Simplex, la cual permite medir la respuesta en el costo y composición de la ración optimizada ante cambios de costo de sus componentes.
Matemáticamente, consiste en la determinación de los límites entre los cuales puede variar la dirección del hiperplano de la función económica mientras que el hiperpoliedro de las restricciones del problema se mantiene fijo. Consiste en el cálculo de coeficientes de variación máximos y mínimos a partir de la tabla simplex optimizada, para cada componente para conocer entre que precios se mantiene la solución en el óptimo, si alguno de los precios supera los límites la solución ya no es la óptima y es necesario reformular para mantener los costos mínimos. Si se ocupa con un estudio de tendencia de precios se pueden planificar soluciones a mediano y largo plazo. Otra aplicación interesante es la obtención de mapas de sensibilidad (gráfico porcentaje de componente Z en la ración vs precio del com ponente Z y valor de la ración vs precio del componente Z) el cual nos permite conocer en nuestro sistema nutricional si es que dependemos de materias primas críticas, las que si faltaran ante algún hecho imprevisto, no serían reemplazables. O sea permite saber donde es débil nuestro sistema nutricional y permite buscar las alternativas para reforzarlo.
Los peces y animales, al igual que el hombre, necesitan satisfacer determinados requerimientos nutritivos dentro de límites definidos para vivir normalmente.
Existen organismos de investigación que han determinado los requerimientos y recomendaciones nutritivas para peces y animales, datos de gran importancia para el cálculo de raciones balanceadas. Las necesidades nutricionales se pueden dividir en cuatro grupos generales:
Necesidades proteicas.
Necesidades de energía.
Necesidades de minerales.
Necesidades de vitaminas.
Las proteínas son los constituyentes primarios de los tejidos estructurales tales como las escamas, piel, ligamentos, aletas, tejido muscular, etc…
Están formadas de pequeñas unidades llamadas aminoácidos, los cuales se enlazan entre si para formar largas cadenas.
Las proteínas se obtienen de organismos vegetales y animales y el cuerpo las asimila a nivel de aminoácidos, cortando las cadenas por hidrólisis ácida y enzimática en el sistema digestivo.
Existen aminoácidos que el cuerpo necesita absorber en una determinada cantidad para su funcionamiento normal, llamados esenciales los que de no estar presentes causan una serie de anormalidades que se pueden resumir en una menor tasa de crecimiento, entre estos están: Arginina, Histidina, Isoleucina, Leucina, Lisina, Metionina, Cisteína, Fenilalanina Tirosina, Treonina, Triptofano y Valina.
Los aminoácidos esenciales normalmente se encuentran en cantidad suficiente en la Proteína de origen animal, no así en la vegetal.
Por lo anterior podemos concluir que el valor nutricional de una proteína está determinada por su composición aminoacídica, siendo mejor mientras mas rica sea en aminoácidos esenciales.
Cabe destacar que algunos aminoácidos se transforman en otros al estar en niveles altos en la ración, entre los que están:
Si se tiene un nivel alto de metionina en la ración y bajo en cisteína el exceso se convierte en esta.
Si el nivel de fenilalanina es alto en la ración y bajo en tirosina el exceso se convierte en esta.
Las recomendaciones de Proteína total para especies acuícolas varían de un 30 a un 50% dependiendo del propósito y especie, para un máximo crecimiento económico.
La unidad de medida usada más frecuentemente para su expresión es el porcentaje.
Los lípidos son los principales compuestos energéticos. Cuando son consumidos sirven de fuente de energía. El excedente se almacena en forma de grasa.
La asimilación de carbohidratos es baja en truchas y salmones y su incorporación en gran porcentaje puede producir problemas de crecimiento al incrementar la producción de glucógeno y reducir el consumo de alimento.
Para medir la energía existen varios criterios, entre los cuales están PDT (Principios digestibles totales) y las calorías, que se definen como:
| PDT: | es un índice que involucra un equivalente energético de la suma de la proteína digestible, estracto libre no nitrogenado, grasa y fibra. Se determina después de estudios de digestibilidad. |
| Calorías: | es un índice que expresa la energía potencial de los alimentos. Para el cálculo de raciones frecuentemente se usa la energía metabolizable (EM) corregida según el nitrógeno retenido o perdido en el cuerpo. |
Los minerales son necesarios para la formación de estructuras son cofactores o catalizadores de reacciones bioquímicas vitales, participan activamente en el transporte de oxígeno a través de la sangre, en las reacciones musculares, etc…
Un gran aporte de minerales se efectúan directamente desde su medio acuático al pez, encontrándose que en agua no salada el calcio disuelto puede suplementar muchas de las necesidades de los peces, mientras que en aguas salada el aporte de variedad de minerales es mayor. Los faltantes los debe suministrar la dieta. Las dietas que contienen un monto significativo de harina de pescado contienen suficientes minerales esenciales para satisfacer los requerimientos de crecimiento de salmones y truchas.
Cabe destacar que el Fósforo es requerido en un monto algo mayor por los peces, normalmente no lo pueden absorber desde el agua en cantidad suficiente, por lo que debe ser considerado cuando se formulan raciones para peces (es de alrededor de un 0.45% de fósforo digestible de la dieta.
Existen minerales trazas en los alimentos, los que se expresan generalmente en mg/kg y otros que se encuentran en mayor cantidad los cuales se expresan directamente en porcentaje. (ej: fósforo, calcio, potasio).
Los peces, al igual que el hombre, necesitan vitaminas para su metabolismo. Si hay carencia de estos nutrientes en la ración se pueden producir enfermedades carenciales que pueden ocasionar una gran tasa de mortalidad.
Cabe destacar que si las deficiencias vitaminas son menores se producen pérdidas económicas difícilmente detectables al en el momento, al obtenerse una menor conversión del alimento.
Los requerimientos cuantitativos de vitaminas no están claramente definidos además, la composición de vitaminas puede variar notablemente entre una especie y otra de alimentos, luego la incertidumbre es alta.
Normalmente se recomienda usar un premix comercial para reducir la probabilidad de deficiencia de vitaminas.
Se trata de obtener una abstracción matemática del problema nutricional para una determinada especie y propósito de tal manera que nos permita generar fórmulas.
Actualmente, gracias a la informática el problema matemático es transparente para el usuario, ya que solamente es necesario definir el modelo e ingresarlo al computador para ejecutarlo con un paquete de aplicación.
Entre estos paquetes esta SFC (que usaremos en el curso) que ha sido desarrollado especialmente para la determinación de modelos de formulación de una manera amistosa y fácil de aplicar para el nutricionista.
La metodología propuesta es la siguiente:
Los puntos (i) a (iii) se efectúan normalmente al principio de la vida del modelo, los puntos (iv) y (v) se llevan a cabo a través de las continuas aplicaciones del modelo, ya que este debe representar la realidad y se debe adecuar a ella, luego, con la experiencia adquirida por el uso de este y sus aplicaciones prácticas es factible que el modelo se actualice a lo largo del tiempo, siendo cada vez mas ajustado a su propósito en particular.
Se identifican todas las materias primas disponibles determinando:
Costo real: se debe determinar cual es el costo real de obtener cada materia prima incluyendo transporte, procesamiento previo, almacenamiento etc…
Límites máximos de incorporación en la ración: se deben recopilar datos prácticos y recomendaciones debido a que existen materias primas que su incorporación es segura hasta cierto límite.
Procedencia: es deseable la obtención de este dato ya que materias primas de procedencia dudosa o mal almacenaje pueden estar contaminadas por hongos (micotoxinas), insectos, etc…, que alteren su calidad nutricional. Es necesario tener un adecuado control de calidad que asegure la confiabilidad de las materias primas.
Composición química: la composición química se relaciona con el punto anterior y con el tipo de materia prima en si. Se debe contar con la mayor cantidad de información posible y la mejor acerca del contenido nutritivo de las materias primas. Lo deseable es que a cada materia Prima disponible para formular se le haga un análisis químico completo antes de su compra para evaluar con valores precisos la calidad nutritiva y establecer un Control de Calidad permanente durante la aplicación de la fórmula para asegurar que la dieta realmente tiene los nutrientes en la cantidad que fueron formulados.
Abastecimiento: es importante considerar este factor ya que no es práctico elaborar una ración con materias primas de las que no se está seguro su abastecimiento en cantidad suficiente por un tiempo determinada.
Se recopila información práctica y bibliográfica de fuentes confiables para establecer las restricciones nutritivas. Esta información es muy importante, ya que estas determinan la ración que se formula. Se debe tratar de trabajar con datos prácticos en lo posible, considerando las recomendaciones calculadas por organismos de investigación. Lo deseable es conocer las recomendaciones específicas para la especie y propósito, de tal manera de no formular nutrientes en exceso, encareciendo de manera innecesaria la ración.
En esta etapa, con la información recopilada se seleccionan los parámetros a considerar llevándose a cabo la definición del modelo. Se establecen las restricciones nutritivas, condiciones de cantidad total y alguna otra condición estimada necesaria para el funcionamiento lógico del modelo. Además, se verifica la consistencia de unidades y se eligen las unidades a usar para cada restricción, las unidades para cada fila deben ser las mismas, no así para las columnas, eso si, que deben estar expresadas en una misma base a obtener, por ejemplo kg de nutriente por kg de ración, gramos de nutriente por kg de ración. El valor de la restricción limitante debe ser la cantidad que se desea obtener, también por kg de ración, (si se desea el valor en porcentaje este valor debe estar multiplicado por 100) y debe ir una restricción de consistencia la cual exija que la ración debe ser formulada para 1 kg de ración (restricción de cantidad). Se recomienda, hacer un croquis de la matriz del modelo donde estén todos los datos seleccionados antes de digitarlos en el computador, de tal manera que los nutrientes y sus restricciones conformen las filas, incluyendo en una fila la Función Objetivo y las columnas estén formadas por las materias primas disponibles para formular. Luego se digitan los datos en el computador.
Esta etapa la ejecuta el computador, calculando la mezcla de componentes con el algoritmo Simplex, entregando los costos marginales de las restricciones limitantes con el dual y efectuando un análisis de sensibilidad de precios de la solución obtenida.
Si no se obtuvo solución analizar lo ocurrido según lo descrito en 18.2.3 a) y hacer las modificaciones pertinentes para correr nuevamente el programa hasta obtener una solución factible.
Todo modelo es teórico, luego es necesario el criterio del experto en nutrición para calificar si la solución generada es aplicable o no. En caso de no ser aplicable se debe corregir el modelo ya que falta algún factor que lo haga comportarse en forma real, definiéndose cual será la modificación y se vuelve al punto 18.4.4 para generar una nueva fórmula.
Por otra parte, analizando la solución obtenida y las restricciones limitantes, a lo mejor podemos hacer cambios en las restricciones, para obtener aún un costo más bajo, se definen estos ajustes si son posibles se vuelve al punto 18.4.4 para generar una nueva fórmula.
Dantzig, G. Linear Programming and Extensions. Princeton University Press, Princeton, N.Y., USA. 1963.
Ensminger, H. Zootecnia General. Centro Regional de Ayuda Técnica, Buenos Aires, Argentina. 1973.
Gass, S. Programación Lineal. Editorial Continental, México. 1961.
Lovell, T. Computer Formulation of Fish Feeds. Aquaculture Magazine, Mayo-Junio 1980.
Salazar, J. Desarrollo y Aplicación de un Modelo de Programación Lineal (Computarizado) para Alimentos Balanceados. Universidad Católica de Valparaíso, Chile.
