3. MEDICIÓN DE ÁNGULOS HORIZONTALES

3.0 Introducción

¿Qué es un ángulo horizontal?

1. En topografía el ángulo formado por dos líneas rectas trazadas sobre el suelo se mide horizontalmente y se llama ángulo horizontal. Las líneas trazadas sobre el suelo se pueden reemplazar con dos líneas visuales AB y AC. Estas líneas visuales parten del ojo del observador que constituye el vértice A del ángulo BAC, y se dirigen hacia puntos fijos del terreno tales como una piedra, un árbol, un hormiguero, un poste telefónico o la esquina de un edificio.  
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Líneas de visión desde el ángulo BAC
     

¿Cómo se expresan los ángulos horizontales?

   

2. Los ángulos horizontales en general se expresan en grados. Un círculo completo se divide en 360 grados, abreviado como 360°. Nótense en la figura los dos ángulos particulares aquí mencionados:

  • un ángulo de 90°, llamado ángulo recto, formado por dos rectas perpendiculares; los ángulos de un cuadrado son todos ángulos rectos;
  • un ángulo de 180° obtenido prolongando una línea recta; en realidad es lo mismo que una línea recta.

3. Cada grado se divide en unidades más pequeñas:

  • 1 grado = 60 minutos (60');
  • 1 minuto = 60 segundos (60").

De todos modos, estas unidades más pequeñas sólo pueden ser medidas con instrumentos de alta precisión.

 
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Ángulo horizontal BAC
   
 
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El círculo tiene 360 grados

Algunas reglas generales sobre los ángulos

4. Una figura de forma cuadrada o rectangular tiene cuatro lados rectos y cuatro ángulos interiores de 90°. La suma de esos cuatro ángulos interiores es igual a 360°.

5. La suma de los cuatro ángulos interiores de cualquier figura de cuatro lados rectos es siempre igual a 360°, aunque los ángulos no sean rectos.

6. Puede ser útil recordar la regla general que dice que la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono (una figura con varios lados) es igual a 180° multiplicado por el número de lados, N, menos 2:

Suma de ángulos = (N - 2) x 180°
 
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90° + 90° + 90° + 90° = 360° 4 Lados = 360°
     

Ejemplos

(a) Un terreno tiene cinco lados. La suma de sus ángulos interiores será igual a (5-2) x 180° = 540°.

(b) un terreno tiene ocho lados. La suma de sus ángulos interiores será igual a (8-2) x 180° = 1 080°.

 

90° + 90° + 90° + 90° = 360° 4 Lados = 360°
     

60° + 110° + 150° + 40° = 360°
4 Lados = 360°
 
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120° + 80° + 110° + 90° + 140° = 540°
5 Lados = 540°

7. Cuando se miden los ángulos de un terreno, se puede verificar la exactitud de la medición aplicando la regla básica apenas mencionada. Se debe recordar que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a (3 -2) x 180° = 180°.  
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Triángulo con lados iguales: 60° + 60° + 60° = 180°
     
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Un triángulo cualquiera: 65° + 75° + 40° = 180°
 
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Triángulo recto: 90° + 60° + 30° = 180°

Elección del método más adecuado

8. Existen pocos métodos para medir ángulos horizontales en el terreno. El método elegido depende de la exactitud que se quiere alcanzar y del equipo a disposición. El Cuadro 2 compara varios métodos y puede ayudar a elegir el método más adecuado para cada necesidad.

Nota: dado que los ángulos de 90° juegan un rol muy importante en los levantamientos topográficos, su medición (utilizada para trazar líneas perpendiculares) será estudiada detalladamente.

CUADRO 2
Métodos de medición de ángulos horizontales

Sección1
Método
Ángulo horizontal
Precisión
Comentarios
Equipo2
3.1*
Grafómetro casero
Medio a largo
Baja
Mejor para 40-80 m
Para ángulos mayores de 10°
Grafómetro
3.2**
Brújula
Medio a largo
Media
Mejor para 40-100 m
Para ángulos mayores de 10°Sin interferencias magnéticas
Brújula
3.3*
Compas or Brújula o transportador
Cualquiera
Bajo a media
Sólo en clima seco
Brújula simple, transportador, papel de dibujo
3.3**
Tabla o plancheta
Cualquiera
Baja a media
Sólo en clima seco
Plancheta,papel de dibujo
3.4*
Método del ángulo recto
Pequeño
Medio a grande
Para trazar una perpendicular
Cuerda de medición
3.5***
Teodolito
Cualquiera
Alta
Util para distancias largas
Teodolito con círculo graduado horizontal
3.6
Misceláneo
Solo ángulos rectos
Media a alta
Adaptar el método a la longitud de la perpendicularr
Varios

1*Simple    **más difícil     ***muy difícil
2 En cursiva, equipo que usted mismo puede hacer.


Grafómetro artesanal
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Brújula
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Transportador
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Tabla plana o plancheta
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3.1 Cómo se usa el grafómetro

1. Un grafómetro es un instrumento topográfico que se usa para medir ángulos horizontales. Se compone de un círculo graduado en 360° en cuyo centro gira libremente un dispositivo que funciona como visor. Tal dispositivo se llama alidada y permite trazar una línea visual que parte de los ojos del observador, pasa por el centro del círculo graduado y se concluye en un punto fijo seleccionado del terreno o en un jalón. Mientras se usa, el grafómetro debe estar colocado horizontalmente sobre un soporte.

2. Es posible construir artesanalmente un grafómetro siguiendo las instrucciones que siguen. Puede ser una buena idea requerir la ayuda de un carpintero.

 
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Grafómetro
     

Construcción de un grafómetro artesanal

3. Se inicia la construcción del grafómetro con el círculo graduado que aparece en la Figura 1. Se puede realizar una fotocopia, se puede calcar el dibujo usando papel adecuado o se puede directamente recortar la página de este manual siguiendo la línea de puntos.  

Materiales para construir un grafómetro
     

4. Se consigue una plancha o tablero cuadrado de madera de 1 cm de espesor y 22 cm de lado.

5. Se marca el centro de la plancha dibujando las dos diagonales, que unen los ángulos opuestos. El punto donde ambas líneas se cruzan es el centro exacto de la plancha.

6. Se consigue un tornillo con tuerca de 1,5 cm de largo. Perforar el centro de la plancha realizando un hueco que se ajuste perfectamente al diámetro del tornillo. En el revés de la plancha, agrandar un poco el hueco para que quepa la tuerca.

 

Halle el centro de la tabla y haga un hueco
     
7.Perforar otro hueco del mismo tamaño exactamente en el centro del círculo graduado (Figura 1). Pegar la hoja de papel sobre la plancha de madera, cuidando que coincidan perfectamente el centro de la plancha y el de la hoja, como así también que estén alineados los cuatro costados de la hoja con los lados de la plancha de madera. Un modo sencillo de conseguir este resultado es hacer que coincidan las dos diagonales trazadas sobre la plancha de madera con las graduaciones 45°, 135°, 225° y 315° del círculo.  

Pegue la Figura 1 a la tabla
     
8. Si es posible, es mejor proteger la hoja de papel, por ejemplo con una lámina de plástico transparente un poco más grande que la plancha, doblándola en los bordes de la misma. Se puede luego fijar el doblez en el dorso del tablero con clavitos o chinchetas.  

Proteja el papel con una hoja de plástico

FIGURA 1
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9. El siguiente paso es la construcción del instrumento de mira o visor, llamado alidada móvil. Se necesita una regla de madera de 16 cm de largo y 3,5 cm de ancho. Se determina el centro, tal como se hizo en la plancha, trazando las dos diagonales que unen los ángulos opuestos. Se dibuja una línea que pase por ese punto central y que sea paralela a los lados más largos de la regla. Exactamente sobre este eje y cerca de cada uno de los extremos, se deberán clavar dos clavos sin cabeza de 4 a 5 cm de longitud. Es importante que los clavos no atraviesen la regla y que queden perfectamente verticales. La alidada está lista para ser usada.  

Hallar el centro de la regla y hacer un agujero
     

10. A continuación para fijar la alidada a la base, se coloca una arandela delgada sobre el hueco perforado en la plancha. Se alinea el agujero central de la alidada con la arandela, se colocan otras dos arandelas, una debajo de la plancha y otra sobre la alidada y se hace pasar el tornillo a través de las arandelas, el agujero de la alidada, el de la plancha y se ajusta con la tuerca, de manera tal que baste una ligera presión para girar la alidada.






Clavar en la línea central los clavos que sirven de mira

 

Atornillar la alidada a la base
     
11. Sobre el tablero de madera, en la línea 0°-180°, pero fuera del círculo graduado, se clavan dos clavos sin cabeza idénticos a aquellos colocados en la alidada. Éstos constituyen una segunda línea de mira. Se debe marcar claramente la mitad superior de esta línea de mira trazando una flecha que apunte exactamente al cero de la graduación.

12. En uno de los extremos de la alidada se traza una flecha que partiendo del tornillo colocado en el centro, recorra a lo largo la línea mediana y vaya más allá del clavo colocado cerca del final. La punta de la flecha debe apuntar exactamente al extremo de la línea mediana más allá del clavo. Esta fecha facilitará la lectura de la graduación.

 

Marque la línea de visión con clavos y flechas
     
13. Para mejorar la precisión de las mediciones, será necesario disponer de un piquete o estaca de alrededor de 1,20 m de altura, con uno de los extremos cortado en punta. La punta del piquete se clava en la tierra y el grafómetro se apoya en el otro extremo para medir.  

Apoye el grafómetro en una estaca para estabilizarlo

Uso del grafómetro artesanal para medir ángulos horizontales 

14. El grafómetro se debe orientar de manera tal que la línea de mira 0°-180° se alinee con el lado izquierdo AB del ángulo que se quiere medir. El grafómetro se coloca de manera que el centro, el tornillo, esté exactamente sobre el punto A marcado en el suelo, lo que constituye la estación, a partir de la cual se mide el ángulo horizontal BAC. El uso de una plomada (ver Sección 48) permite mejorar la precisión. Si el grafómetro está sujeto a un piquete por el centro, entonces se puede clavar el piquete verticalmente en el suelo en el vértice A del ángulo.

15. Controlar que el grafómetro esté lo más horizontal posible. A tal efecto, colocar un lápiz redondo sobre el tablero. Si el lápiz no rueda, desplazarlo 90° y probar nuevamente. Si el lápiz no rueda en ninguna de las dos direcciones, quiere decir que el grafómetro está horizontal.

 

Ángulo BAC
 

Cuando el lápiz no rueda en ninguna dirección, quiere decir que el grafómetro está

16. Controlar nuevamente que la línea de mira 0°-180° esté bien alineada con el lado izquierdo AB del ángulo que se quiere medir. Realizar las correcciones que sean necesarias cuidando de no modificar ni la ubicación de la estación ni la horizontalidad del grafómetro.


Mire de A a B
 

Controla quela línea 0°-180° está alineada con el lado AB

17. Girar la alidada móvil hacia la derecha hasta que la línea de mira esté alineada con el lado derecho AC del ángulo BAC.

18. Leer la graduación sobre la flecha en la línea central de la alidada móvil. Ese es el valor del ángulo BAC en grados.


Mire ahora desde A a C moviendo la alidada, pero no el grafómetro
 

Nota: es más fácil colocar horizontalmente el grafómetro sobre la estación marcada en el suelo, sin tener en cuenta la línea de mira 0°-180°. Simplemente se debe verificar que el lado izquierdo AB del ángulo esté a la derecha de la línea 0°-180°. Se realizan dos mediciones utilizando la alidada móvil para ambos lados del ángulo, el izquierdo AB y el derecho AC. El valor del ángulo es igual a la diferencia entre ambas mediciones.

Ejemplo
  • Dos líneas, X y Y, forman el ángulo XAY en el punto A.

  • Se marcan claramente las líneas X y Y colocando jalones en los puntos B y C, por ejemplo.

  • Se ubica el grafómetro en la estación A, con su línea de mira 0°-180° orientada hacia la izquierda de AB.

  • Mediante la alidada móvil se mira hacia el jalón B y se lee la graduación, AB = 23°.

  • Se gira la alidada móvil para visualizar el jalón C y se lee la graduación, AC = 75°.

  • El ángulo BAC es igual a 75° - 23° = 52°.

 
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Ponga el grafómetro en el punto A
     
   

Lea los ángulos que corresponden a las líneas AB y AC
     
   

Medición de un ángulo cuyo vértice es inaccesible

19. Para utilizar el método apenas descrito, es necesario acceder al vértice A del ángulo. Si en cambio el vértice es inaccesible, se debe elegir uno de los dos métodos que se describen a continuación.  
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Mida los ángulos CBA y BCA para calcular el ángulo BAC
     
20. Se traza una recta CB que une un punto cualquiera de uno de los lados a otro punto del otro lado, formando un triángulo que comprende el ángulo en cuestión. Se miden los ángulos formados por esta nueva recta y los lados del ángulo. El ángulo situado en el vértice inaccesible del triángulo es igual a la diferencia entre 180° y la suma de los otros dos ángulos.  
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El vértice A está al otro lado del rio
     

Ejemplo

No es posible acceder al vértice A para medir el ángulo XAY. Desde el punto B de la línea AX se traza la recta BC, cuyo punto C está sobre la línea AY. En la estación B se mide el ángulo CBA = 60°; en la estación C, se mide el ángulo BCA = 73°. Se calcula el ángulo XAY = 180° - (60° + 73°) = 47°.

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Trace la línea BC

 

Ángulo BAC = ángulo XAY

21. Si no, se trazan dos líneas perpendiculares (ver Sección 36) a partir de dos puntos de uno de los lados del ángulo. Sobre cada una de estas dos nuevas rectas se mide una distancia idéntica. Se unen los dos puntos así determinados con otra recta, que será paralela a uno de los lados del ángulo. Se prolonga la línea hasta cortar el otro lado. En el punto de intersección se mide el nuevo ángulo que se ha formado, el que es igual al ángulo del vértice.  

El vértice A está detrás de un obstáculo
     

Ejemplo

Es imposible acceder al vértice A para medir el ángulo XAY. Sobre la recta AX se marcan dos puntos B y C. Desde estos puntos se trazan las perpendiculares BZ y CW, sobre las cuales se miden los segmentos de igual longitud desde la recta AX, llamados BD y CE. Se unen los puntos E y D para formar la línea que es paralela a AX. Se prolonga la recta ED hasta que corta la línea AY en el punto F. Desde la estación en el punto F, se mide el ángulo EFY. Su medida será igual a la del ángulo XAY.

 

Trace las perpendiculares BZ y CW
     

Halle la línea ED y prolónguela hasta F
 
     
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Mida el ángulo EFY
 
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Ángulo EFY = ángulo XAY

Medición de ángulos adyacentes

22. Desde una estación dada es posible que se deban medir varios ángulos formados por una serie de líneas que se encuentran en un punto y que se llaman rectas convergentes. Los ángulos así formados se llaman ángulos adyacentes.

23. Para medir los ángulos adyacentes, conviene medirlos todos juntos usando la línea a la extrema izquierda como línea de referencia. Luego se puede calcular por simple sustracción el valor de cada ángulo.

 
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XPA, APB y BPC son ángulos consecutivos

Ejemplo

A partir de la estación P, se deben medir los tres ángulos adyacentes, XPA, APB y BPC. Se considera la recta PX (a la extrema izquierda) como línea de referencia y se la hace coincidir con el 0° del grafómetro. Se mantiene el grafómetro fijo en esa posición y se gira la alidada móvil midiendo sucesivamente cada ángulo (en este caso, los ángulos XPA = 40°, XPB = 70° y XPC = 85°). El cálculo de los ángulos adyacentes se efectúa de la siguiente manera: XPA = 40°, medido directamente; APB = XPB - XPA = 70° - 40° = 30°; BPC = XPC - XPB = 85° - 70° = 15°.

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Mida cada uno de los ángulos desde la línea 0°
 
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... y calcule a continuación cada uno de los valores

3.2 Cómo se utiliza la brújula

¿Qué es una brújula?

1. Una brújula simple se compone generalmente de una aguja magnética que oscila libremente sobre un pivote en el centro de un círculo graduado. La aguja magnética se orienta automáticamente hacia el norte magnético*. La aguja está encerrada en una caja con tapa transparente que la protege.

2. Las brújulas de orientación en general se montan sobre un trozo rectangular pequeño de plástico transparente. Están dotadas de una línea de mira en el eje de un espejo móvil. Cuando el espejo se inclina, es posible observar simultáneamente la brújula y la recta trazada en el suelo.

 
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Brújula simple
     
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Brújula de orientación
 

Brújula prismática
     
3. Las brújulas prismáticas dan indicaciones más precisas. Se las utiliza sosteniéndolas a la altura de los ojos para poder leer su escala. Tal escala es visible a través de una lente, mediante un prisma. Se gira la brújula horizontalmente hasta que la retícula se alinea con la marca trazada en el suelo (gracias a una ilusión óptica, el trazo parece prolongarse más allá del borde del instrumento). Al mismo tiempo, la medida aparece sobre el círculo graduado de la brújula detrás de la retícula. Dado que el anillo graduado se orienta automáticamente, la lectura da directamente la medida del ángulo entre el norte magnético* y la línea de mira (ver también los siguientes parágrafos).  
Mirando a través de una brújula prismática
     
4. Una aguja magnética señala siempre en la misma dirección ─ el norte magnético. Esa es la razón por la cual las brújulas a menudo se usan para orientarse en el campo y para llevar a cabo levantamientos cartográficos (ver, por ejemplo, Sección 71 en el Tomo 2 de este manual). La parte de la aguja que señala el norte magnético está siempre claramente marcada, en general con color rojo o negro.

5. El anillo exterior de la brújula en general está graduado en 360°. La graduación 0° ó 360° lleva la indicación N, o sea el Norte. En muchas brújulas la graduación aumenta en el sentido de las agujas del reloj y se pueden leer las siguientes letras en el círculo:

  • a 90°, E for Este;
  • a 180°, S for Sur;
  • a 270°, O for Oeste.

A veces también se indican las orientaciones intermedias tales como NE, SE, SO y NO.

 
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Uso de la brújula para medir ángulos horizontales

6. Ya se ha dicho que la aguja de una brújula señala siempre en la misma dirección - el norte magnético. Para poder utilizar esta dirección como eje de referencia, es necesario que ella coincida con el 0° de la brújula. Si no coincide exactamente, se deberá girar el círculo graduado hasta lograr la coincidencia. Recién entonces se podrá usar la brújula como se describe más adelante.  
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7. En cualquier punto dado, el ángulo formado por el norte magnético y una línea recta se llama azimut de esa línea. El azimut magnético con relación al norte, llamado azimut o Az, se mide siempre en la dirección de las agujas del reloj desde el norte magnético a la línea en cuestión

Ejemplo

Azimut OA = 37°; Az OB = 118°; Az OC = 230°; Az OD =340°. .

 

 

Medición del azimut de una recta

8. Para medir el azimut de una recta, el operador se ubica en cualquier punto de la recta. Sostiene la brújula horizontalmente mirando hacia otro punto de la misma recta, por ejemplo hacia un jalón, alineando las marcas de la brújula con tal punto. Si es necesario (y ese es el caso de algunas brújulas de orientación), primero se debe hacer coincidir la graduación cero del norte de la brújula con el extremo norte de la aguja magnética. En la intersección de la línea de mira y el anillo graduado, se lee el azimut de la recta desde el punto de observación. La medición será más precisa si se limita la longitud de la línea de mira a un valor comprendido entre 40 y 120 m. De ser necesario se pueden colocar otros jalones en la línea observada.

Nota: para verificar la medición del azimut, el operador debe dar una media vuelta y observar en la dirección opuesta hacia otro punto de la misma recta. Se lee la medida de ese azimut, que deberá diferir 180° de la primera medición. Generalmente la diferencia no es exactamente de 180°, pero si la variación es pequeña se la puede ignorar y sacar el promedio de las dos mediciones. Si la diferencia es grande, entonces es probable que haya habido un error que se debe corregir (ver más adelante, Principales causas de error).

 

Compruebe el azimut en ambas direcciones
     
   
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Ejemplo

Para determinar el azimut de la recta XY, marcada con los jalones B y C, el operador se ubica con la brújula en la estación A, en la mitad de la recta. Observa con la brújula hacia el jalón B y lee el azimut AB = 65°. Ese es el azimut delantero. Verifique el valor obtenido dando una media vuelta y observando hacia atrás con la brújula, hacia el jalón C y leyendo el azimut trasero, AC = 245°. La diferencia entre los dos azimut es 245° - 65° = 180°, lo que significa que la medición es correcta.

 
     
   
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Azimut delantero = 65°
 
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Azimut trasero = 245°

Medición de un ángulo horizontal

9. Para medir un ángulo horizontal, el operador se ubica en el vértice del ángulo y mide el azimut de cada uno de los lados; calculando el valor del ángulo como se explica a continuación.

10. Si la dirección del norte magnético cae fuera del ángulo considerado, se debe calcular el ángulo comprendido entre las dos líneas de mira que es igual a la diferencia entre los azimut de ambas líneas. Siempre se resta el número más pequeño del mayor, sin tener en cuenta qué azimut se leyó primero. Lo importante es asegurarse de que el norte magnético no está dentro del ángulo.

Ejemplo

(a) Ángulo BAC; Az AB = 25°; Az AC = 64°;
BAC = 64°- 25° = 39°

Ángulo XAY = Az. YA - Az. XA

 

 
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(b) Se debe medir el ángulo XAY; se mide el azimut de AX = 265°; se mide el azimut de AY = 302°; el ángulo XAY mide 302° - 265° = 37°.  
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11.Si el norte magnético cae dentro del ángulo que se debe medir, el ángulo comprendido entre las dos líneas de mira es igual a 360° menos la diferencia de los azimut. Para calcular el ángulo, primero se debe encontrar la diferencia tal como se indicó arriba, en el punto 10 y luego restar ese número de 360°.

Ejemplo

Se debe medir el ángulo EAF; se mide el azimut de AE = 23°; se mide el azimut de AF = 310°; el ángulo EAF mide 360° - (310° - 23°) = 73°.

Ángulo EAF = 360° - (Az. AF- Az. AE)

Nota: para verificar la medición y mejorar su precisión, se debe repetir cada operación tres veces desde la misma estación. Tales mediciones deben arrojar resultados similares.

 
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12. Si el vértice del ángulo no es accesible, se debe medir por separado el azimut de cada recta desde otro punto situado sobre la misma (ver arriba, punto 8) y calcular el ángulo como se procedió en el punto 9.

Ejemplo

Se debe medir el ángulo BAC, pero el vértice A no es accesible; en el punto X de la recta AB, se mide el azimut XB = 39°; en el punto Y de la recta AC, se mide el azimut YC = 142°. Dado que la dirección del norte magnético es exterior al ángulo BAC, la medida se calcula del siguiente modo: 142° - 39° = 103°.

Ángulo BAC = Az. YC - Az - XB

 
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Levantamiento topográfico de una poligonal

13. Cuando se debe realizar el levantamiento topográfico de una poligonal*, se mide el azimut de dos lados desde cada uno de los vértices. Así, para cada uno de los lados del polígono, se determina un azimut delantero y uno trasero. Luego se verifica la exactitud de los dos azimut, que deben diferir 180°. Si así no fuera, se resta 180° del azimut mayor y se calcula el promedio entre ese valor y el azimut más pequeño. Para llevar a cabo tal cosa, se suman los dos números y se divide por dos. A partir de los promedios así calculados para los otros azimut, es posible calcular los ángulos interiores del polígono, tal como se explica más arriba.

Nota: para llevar a cabo una verificación final, se deben sumar todos los ángulos interiores. La suma obtenida debe ser igual a (N - 2) x 180°, donde N es el número de lados del polígono (ver Sección 30, punto 6).

 
     
Ejemplo

Se debe realizar el levantamiento topográfico del polígono ABCDEA. A partir del vértice A se mide el azimut delantero Az AB = 40° y el trasero Az AE = 120°. El operador se desplaza luego en el sentido de las agujas del reloj hacia el vértice B y mide el azimut trasero Az BA = 222° y delantero Az BC = 110°. Procede de la misma manera para los otros tres vértices C, D y E. En total se obtienen diez medidas que se anotan en un cuaderno. (Ver en las columnas 1 y 2 de la tabla en la página siguiente, el orden en que se han tomado las medidas indicado entre paréntesis).

Se calculan los valores que aparecen en la columna 3 sustrayendo 180° del azimut mayor medido en cada vértice. Se obtienen así valores que deben ser iguales a los azimut de medida inferior que aparecen en la columna 1 o en la columna 2, de acuerdo a la posición del vértice.

 
     
  • Si los valores son idénticos a los azimut de medida inferior observados (vértices C, E), tales resultados se inscriben en las columnas 4 ó 5, dependiendo del tipo de azimut de que se trate.
  •  Si tales valores son diferentes (vértices A, B y D):
    • Se utilizan las columnas 1 ó 2 y la columna 3 para calcular el valor promedio de los azimut más pequeños. A tal efecto se debe agregar la medida de los azimut de valor inferior que figuran en las columnas 1 ó 2 a los números de la columna 3. Se divide el total por 2 para obtener el promedio. Por ejemplo, en el vértice A, el azimut delantero de la recta AB es igual a (42 + 40) ÷ 2 = 41°. En el vértice D, el azimut trasero ED es igual a (66 + 68) ÷ 2 = 67°. En este caso se inscribe un azimut delantero en la columna 4 y un azimut trasero en la columna 5.
    • Se suma 180° a los azimut más pequeños calculados para calcular los restantes azimut. Por ejemplo, en el vértice A, el azimut trasero de la recta BA es igual a 41 + 180 = 221° y, en el vértice D, el azimut delantero DE = 67 + 180 = 247°. Como se hizo precedentemente, se inscribe un azimut delantero en la columna 4 y un azimut trasero en la columna (5).
 
     

Los azimuts delanteros y traseros observados en el polígono ABCDE, en un cuadro y en un croquis

Vértice del polígono
Azimut observados
Azimut más grandes- 180°
Azimut calculados
Az delantero
Az trasero
Az delantero
Az trasero
Columna
1
2
3
4
5
A
(1) AB = 40
(4) BA = 222
42
AB = 41
BA = 221
B
(3) BC = 110
(6) CB = 288
108
BC = 109
CB = 289
C
(5) CD = 185
(8) DC = 5
5
CD = 185
DC = 5
D
(7) DE = 246
(10) ED = 68
66
DE = 247
ED = 67
E
(9) EA. = 300
( 2) AE = 120
120
EA = 300
AE = 120

· Calcular los ángulos interiores, asociando los azimut calculados (columnas 4 y 5) de dos en dos, procediendo de la siguiente manera, con la ayuda de un croquis:

  • ángulo EAB = Az AE - Az AB = 120º - 41º = 79º
 
GR105.GIF (2185 byte)
     
  • ángulo ABC = Az BA - Az BC = 221º - 109º = 112º 
 
GR105a.GIF (2663 byte)
     
  • ángulo BCD = Az CB - Az CD = 289º - 185º = 104º
 
GR105b.GIF (2984 byte)
     
  • ángulo CDE = 360º - (Az DE- Az DC)= 360º - (247º - 5º) = 118º
 
GR105c.GIF (2544 byte)
     
  • ángulo DEA = 360°- (Az EA - Az ED) = 360º - (300º - 67º) = 127º
 
GR105d.GIF (2812 byte)

14. Si se deben medir ángulos adyacentes, se procede de acuerdo a las indicaciones precedentes (ver final de la Sección 31).

Verificación de las mediciones realizadas con la brújula

Cuando se utiliza una brújula para medir ángulos horizontales, es conveniente verificar cuidadosamente los siguientes puntos:

15. La aguja magnética debe poder oscilar libremente en su pivote. Sostenga la brújula con una mano en posición horizontal, y con la otra mano acerque un objeto metálico a la punta de la aguja magnética. Haga que la aguja se desplace hacia la izquierda siguiendo el objeto metálico; luego aléjelo y compruebe que la aguja vuelve rápidamente a su posición original. Repita el movimiento en el otro sentido para verificar dos veces que la aguja oscila sin inconvenientes.

Ponga el hierro cerca de la brújula para atraer la aguja
GR106.GIF (5696 byte)
 
... luego retírelo. La aguja debería volver a su sitio
 GR106_a.GIF (5509 byte)
     
16. La aguja magnética debe estar en posición horizontal cuando la brújula está horizontal. Apoye la brújula en una superficie horizontal de madera (por ejemplo, una mesa) y verifique que la aguja permanezca horizontal. Si así no fuera, debe abrir la caja que encierra la brújula y agregar un pequeño peso a la aguja. Para hacer esto, puede enrollar hilo de coser de algodón alrededor de la parte de la aguja que está más alta y mover la misma hacia atrás y hacia adelante hasta que esté equilibrada y permanezca en posición horizontal.  
La aguja no está horizontal
GR107.GIF (1832 byte)
     
... enróllele un trozo de hilo para balancearla
GR107a.GIF (4064 byte)
 
GR107b.GIF (6519 byte)

17. No deje objetos metálicos cerca de la brújula. En efecto, el metal atrae la aguja magnética y las mediciones pueden resultar erradas. Los instrumentos metálicos de agrimensura tales como cintas métricas, cintas de agrimensor y cadenas, así como las estacas y los piquetes metálicos, se deben alejar al menos 4 ó 5 m de la brújula cuando se la emplea para medir ángulos. Si usted lleva anteojos con marco metálico, también deberá alejarlos de la brújula. Recuerde que las estructuras de cemento armado (torres, puentes, etc.) están construidas con barras de acero que también pueden alterar el movimiento de la aguja metálica.

18. No se debe utilizar la brújula cuando el tiempo está tormentoso porque los truenos modifican el movimiento de la aguja.

19. No se debe usar la brújula en proximidad de una línea de corriente eléctrica.

20. Mantenga la brújula en posición perfectamente horizontal mientras esté realizando mediciones.

El metal y la electricidad pueden afectar la brújula
 

Nota: dado que la aguja magnética de la brújula se ve siempre afectada por la presencia cercana de elementos metálicos, es muy importante verificar los azimut medidos (tal como se explicó precedentemente). Si luego de sucesivas mediciones, los resultados no coinciden, es posible que las perturbaciones magnéticas locales debidas a la presencia de hierro en el suelo, sean la causa de los errores. En ese caso se debe utilizar otro método de medición.

3.3 Métodos gráficos de medición de ángulos horizontales

El uso de métodos gráficos de medición de ángulos horizontales exige que previamente se dibuje el ángulo sobre papel. Luego se procede a medir el ángulo con un semi círculo graduado o transportador (ver punto 11, más adelante). Tal como se ha visto con otros métodos, se puede mejorar la precisión de los resultados, repitiendo el procedimiento al menos dos veces para descartar posibles errores.

Utilización de una brújula simple y de un semi círculo graduado o transportador en el terreno

1. Este método requiere el uso de una brújula simple (ver Sección 32). La brújula es necesaria solamente para determinar la dirección del norte magnético*.

GR109.GIF (4945 byte)
 
GR109_a.GIF (5971 byte)
     
2. Se necesita un trozo de cartón rígido o un tablero de madera delgado, de 30 x 30 cm, y varias hojas de papel cuadriculado (por ejemplo papel milimetrado). Las hojas se encolan ligeramente en los cuatro ángulos y se pegan sobre el tablero, una arriba de la otra.

3. Se fija la brújula en el ángulo superior izquierdo de la hoja superior, por ejemplo con una banda de goma, con un cordel o colocándola dentro de un pequeño marco de madera, de manera que su línea de referencia 0°-180° sea paralela a una de las direcciones del cuadriculado del papel. Con un lápiz se dibuja una flecha hacia arriba, indicando la dirección del norte.

 
GR110.GIF (11285 byte)

4. Para dibujar el ángulo horizontal BAC que se quiere medir, colóquese en el vértice A del ángulo, mirando hacia la recta AB trazada en el suelo y que constituye uno de los lados del ángulo.

5. Mantenga el tablero horizontal en la palma de la mano tendida hacia adelante, hágalo girar lentamente hasta que el extremo norte de la aguja de la brújula coincida con el grado cero. La hoja de papel también se habrá orientado con la flecha dirigida hacia el norte.

Nota: la tarea será más fácil si el tablero se apoya sobre un soporte estable, por ejemplo una estaca de madera clavada verticalmente en el suelo.

Oriente la tabla haciendo que la brújula apunte al norte magnético
GR111.GIF (7896 byte)
 
Apoye la tabla en algún soporte para estabilizarla

GR111_a.GIF (8816 byte)

6. Sin mover el tablero, trace con un lápiz sobre el papel, con la mano libre, la línea ab que vaya derecha siguiendo la dirección de la recta AB trazada en el suelo.

7. Repita el procedimiento descrito más arriba en los puntos 5 y 6, mirando hacia la línea AC trazada en el suelo que constituye el otro lado del ángulo. Dibuje la línea AC.

Mire y dibuje la línea AB
GR112.GIF (13888 byte)
 
Luego mire y dibuje la línea AC
GR112_a.GIF (10139 byte)

8. Utilizando el transportador (ver puntos 15 a 17 más adelante), mida los azimut de las líneas trazadas midiendo los ángulos formados por ellas con el cuadriculado de las hojas de papel en la dirección del norte. Recuerde que debe medir los ángulos en el sentido de las agujas de un reloj, desde el norte hacia la línea trazada a lápiz (ver Sección 32).

Nota: es suficiente medir los ángulos inferiores a 90°, dado que el papel cuadriculado indica las direcciones 90°, 180° y 270°.

9. Considere los azimut de los dos lados del ángulo horizontal y calcule el valor del ángulo tal como descrito en la Sección 3.2.

Utilización de una plancheta y de un semi círculo graduado o transportador

10. ISi se dispone de una plancheta (ver Sección 75), se la puede usar en el terreno para dibujar los ángulos sobre papel. Sucesivamente, es fácil medirlos con un transportador (ver puntos 15 a 17, más adelante).

Mida los azimuts con un transportador
 

 ¿Qué es un transportador ?

11. Un transportador es un pequeño instrumento de dibujo, graduado en grados o en fracciones de grados. El transportador semi circular o semi círculo graduado es el más común, pero puede ser más indicado usar un transportador circular o círculo graduado, si se deben medir ángulos mayores de 180°. Los transportadores en general son de material plástico o incluso de papel y se pueden comprar a poco precio en los negocios que venden útiles escolares. También es posible utilizar el que aparece en la Figura 2, haciendo una fotocopia, copiándolo con papel de calcar o recortándolo del manual. Preste atención a la flecha en el punto A que marca la posición exacta del centro del transportador.

FIGURA 2
 (9679 byte)

Construcción de un semi círculo graduado o transportador artesanal

12. Recorte el dibujo del transportador de la Figura 2, o cópielo siguiendo exactamente el contorno.   13. Pegue el papel con el dibujo del transportador sobre un trozo de cartón rígido que sea un poco más grande.
     
 
     
14. Recorte el cartón siguiendo exactamente el contorno del transportador.  
GR117_b.GIF (5596 byte)

Utilización del transportador para medir un ángulo que se ha dibujado

15.Coloque la base recta del transportador, o sea la línea 0°-180°, sobre uno de los lados del ángulo AB.   16. Desplace el transportador de manera tal que el centro coincida exactamente con el vértice A del ángulo, manteniendo la línea 0°-180° sobre el lado AB del ángulo.
     
Alinee el transportador
GR118.GIF (8055 byte)
 
Céntrelo con el vértice del ángulo
GR118a.GIF (8669 byte)
     
17. Busque el punto donde el lado AC del ángulo corta el borde redondeado del transportador. Lea el valor del ángulo indicado por la graduación. Este valor puede ser expresado en grados y en minutos (recuerde que medio grado es igual a 30 minutos).   Nota: si los lados del ángulo no son lo suficientemente largos para cortar el borde del transportador, prolónguelos antes de iniciar la medición.
     
Lea los grados
GR118_a.GIF (4510 byte)
 
Prolongue la línea si es necesario
GR118_b.GIF (2581 byte)

3.4 Cómo medir ángulos horizontales con el método del ángulo recto

1. El método del ángulo recto es el más indicado para medir ángulos inferiores a 10 grados en el terreno, dado que los métodos precedentes no ofrecen resultados precisos. El método del ángulo recto se basa en las propiedades geométricas de los triángulos rectos (ver Sección 3.0, punto 7).   2. A partir del vértice A del ángulo, mida 10 m a lo largo del lado AC del ángulo. Marque este punto D claramente, por ejemplo con un jalón.
     

 
Mida 10m 
     
3. Desde el punto D, l, trace una línea perpendicular prolongándola hasta que cruce el segundo lado del ángulo. Marque claramente esta nueva intersección, el punto E.   4. Mida cuidadosamente la longitud en metros de esta línea perpendicular DE.
     
Trace una perpendicular
 
Calcule el valor

5. Divida esta longitud por 10 para obtener la tangente* del ángulo.

6. Busque ese valor en el Cuadro 3 y lea la medida del ángulo BAC en grados y minutos.

Ejemplo

Se debe medir el pequeño ángulo XAY:


 
Mida 10 m hasta el punto B
     
  • desde B trace la línea perpendicular BZ que corta la línea YA en el punto C;
 
  • mida con exactitud la distancia BC = 1,12 m;
  • divida este valor por 10 para obtener la tangente del ángulo XAY = 0,112;
     
Trace la perpendicular BZ
 
Desde la distancia BC = 1,12 m calcule el valor XAY = 6° 20'

CUADRO 3
Tangentes y valores de ángulos
(Tan = ángulos expresados en grados d y minutos m)

Tan
d
m
Tan
d
m
Tan
d
m
Tan
d
m
Tan
d
m
Tan
d
m
Tan
d
m
0
0
0
0.0875
5
0
0.1763
10
0
0.2679
15
0
0.3640
20
0
0.4663
25
0
0.5774
30
0
0.0029
10
0.0904
10
0.1793
10
0.2711
10
0.3673
10
0.4699
10
0.5812
10
0.0058
20
0.0934
20
0.1823
20
0.2742
20
0.3706
20
0.4734
20
0.5851
20
0.0087
30
0.0963
30
0.1853
30
0.2773
30
0.3739
30
0.4770
30
0.5890
30
0.0116
40
0.0992
40
0.1883
40
0.2805
40
0.3772
40
0.4806
40
0.5930
40
0.0145
50
0.1022
50
0.1914
50
0.2836
50
0.3805
50
0.4841
50
0.5969
50
0.0175
1
0
0.1051
6
0
0.1944
11
0
0.2867
16
0
0.3839
21
0
0.4877
26
0
0.6009
31
0
0.0204
10
0.1080
10
0.1974
10
0.2899
10
0.3872
10
0.4913
10
0.6048
10
0.0233
20
0.1110
20
0.2004
20
0.2931
20
0.3906
20
0.4950
20
0.6088
20
0.0262
30
0.1139
30
0.2035
30
0.2962
30
0.3939
30
0.4986
30
0.6128
30
0.0291
40
0.1169
40
0.2065
40
0.2994
40
0.3973
40
0.5022
40
0.6168
40
0.0320
50
0.1198
50
0.2095
50
0.3026
50
0.4006
50
0.5059
50
0.6208
50
0.0349
2
0
0.1228
7
0
0.2126
12
0
0.3057
17
0
0.4040
22
0
0.5095
27
0
0.6249
32
0
0.0378
10
0.1257
10
0.2156
10
0.3089
10
0.4074
10
0.5132
10
0.6289
10
0.0407
20
0.1287
20
0.2186
20
0.3121
20
0.4108
20
0.5169
20
0.6330
20
0.0437
30
0.1317
30
0.2217
30
0.3153
30
0.4142
30
0.5206
30
0.6371
30
0.0466
40
0.1346
40
0.2247
40
0.3185
40
0.4176
40
0.5234
40
0.6412
40
0.0495
50
0.1376
50
0.2278
50
0.3217
50
0.4210
50
0.5280
50
0.6453
50
0.0524
3
0
0.1405
8
0
0.2309
13
0
0.3249
18
0
0.4245
23
0
0.5317
28
0
0.6494
33
0
0.0553
10
0.1435
10
0.2339
10
0.3281
10
0.4279
10
0.5354
10
0.6536
10
0.0582
20
0.1465
20
0.2370
20
0.3314
20
0.4314
20
0.5392
20
0.6577
20
0.0612
30
0.1495
30
0.2401
30
0.3346
30
0.4348
30
0.5430
30
0.6619
30
0.0641
40
0.1524
40
0.2432
40
0.3378
40
0.4383
40
0.5467
40
0.6661
40
0.0670
50
0.1554
50
0.2462
50
0.3411
50
0.4417
50
0.5505
50
0.6703
50
0.0699
4
0
0.1584
9
0
0.2493
14
0
0.3443
19
0
0.4452
24
0
0.5543
29
0
0.6745
34
0
0.0729
10
0.1614
10
0.2524
10
0.3476
10
0.4487
10
0.5581
10
0.6787
10
0.0758
20
0.1644
20
0.2555
20
0.3508
20
0.4522
20
0.5619
20
0.6830
20
0.0787
30
0.1673
30
0.2586
30
0.3541
30
0.4557
30
0.5658
30
0.6873
30
0.0816
40
0.1703
40
0.2617
40
0.3574
40
0.4592
40
0.5696
40
0.6916
40
0.0846
50
0.1733
50
0.2648
50
0.3607
50
0.4628
50
0.5735
50
0.6959
50

3.5 Cómo medir ángulos horizontales con un teodolito

¿Qué es un teodolito?

1. Un teodolito, también llamado tránsito, es un instrumento costoso que utilizan los técnicos para medir ángulos horizontales con precisión. Su funcionamiento se basa en principios idénticos a los del grafómetro, pero se trata de un aparato mucho más complicado (ver Sección 31). La mayor parte de los teodolitos están diseñados para medir también ángulos verticales (ver Secciones 47 y 59). Los componentes básicos de los teodolitos, que permiten la medición de ángulos horizontales son:

  • un círculo horizontal, graduado en grados, que puede girar y cuando es necesario se lo puede dejar fijo en una posición dada;
  • un plato circular que puede girar dentro de ese círculo, que presenta otras graduaciones adicionales las que permiten una lectura aun más precisa de las graduaciones del primer círculo;
  • un telescopio sujeto a ese plato circular, y que gira con él; pero que también puede ser inclinado hacia arriba y hacia abajo en un plano vertical;
  • un trípode (soporte de tres pies) sobre el cual se instala el teodolito para realizar mediciones.
 
GR122.GIF (38423 byte)

Utilización del teodolito para medir ángulos horizontales

2. Si se quiere medir el ángulo BAC, se ubica el teodolito sobre su trípode en el vértice A. Se coloca el indicador del círculo graduado horizontal en el cero y se mira hacia el punto B. Se fija el círculo en esa posición y se gira el telescopio con su plato circular hasta encontrar el punto C, con lo cual se ha descrito el ángulo BAC. El valor del ángulo se lee directamente en la indicación del plato circular.

Mire hacia los puntos...
 
... y lea lo que se ha medido
GR123_a.GIF (9561 byte)

3.6 Cómo trazar ángulos rectos o rectas perpendiculares

Definición de los ángulos rectos y de las rectas perpendiculares

1. Un ángulo recto es un ángulo de 90°. Dos líneas rectas que se cortan en un ángulo recto, se llaman rectas perpendiculares. Ya hemos visto que los ángulos rectos pueden ser muy útiles para medir distancias (ver Sección 3.1, punto 2.1). Los ángulos rectos también son útiles en piscicultura, por ejemplo cuando se construyen estanques rectangulares, para calcular el volumen de un reservorio (Volumen 4, Agua, Sección 4.2), o para medir superficies de tierra (ver Capítulo 10, del Volumen 2 de este manual).  
DC es perpendicular a AB
GR124.GIF (3742 byte)
     
Algunas maneras de usar las perpendiculares
GR124_a.GIF (3809 byte)
 
GR124_b.GIF (3710 byte)

¿Cuáles son los principales problemas que hay que resolver?

2. Los problemas principales que se deben resolver son dos:

Trazar una perpendicular desde el punto A a la línea XY

 
Trazar una perpendicular desde el punto X a la línea AB

Trazado de una perpendicular con el método del círculo

3. Marcar la línea XY con jalones y con un piquete el punto A, situado por encima o por debajo de ella. Se debe trazar la perpendicular desde el punto A a la recta XY. Consiga una liana, una cuerda, o una cinta métrica o cadena de agrimensor de longitud superior a la distancia que separa el punto A de la recta XY.

 
Fije la cuerda o equivalente a la varilla
GR126_a.GIF (2914 byte)
     
4. Fije un extremo del instrumento en el piquete que señala el punto A, manteniéndolo cercano al suelo.

 
Marque el punto A con una varilla de hierro GR126.GIF (3032 byte)

     
5. Camine con la otra punta del instrumento de medición hacia la línea XY y deténgase unos 2 m más allá del punto donde la ha cruzado.  
GR126_b.GIF (2898 byte)
     
6. Con el extremo del instrumento de medición en la mano, trace un arco sobre la superficie del suelo. Para hacer esto desplace el extremo describiendo un arco hacia la izquierda hasta cruzar la línea XY y marque el punto B. Luego desplace la extremidad, describiendo siempre una curva, hacia la derecha hasta cruzar la línea XY y marque el punto C.  
Trace un arco en el suelo y marque los puntos de intersección
GR126_c.GIF (3037 byte)

7. Mida sobre XY la distancia BC, entre ambos puntos señalados.

8. Divida esta distancia por 2 y mida esta nueva distancia desde el punto B. Marque el nuevo punto D, que debe estar en la mitad exacta de BC.

 
Mida la distancia BC
GR127.GIF (2423 byte)
     
9. Una el punto D y el punto de partida A para formar la nueva recta AD perpendicular a XY.  
Divida por 2 para hallar el punto medio D
GR127_a.GIF (2330 byte)
     
Una los puntos D y A para formar la perpendicular
GR127_b.GIF (2479 byte)
 
GR127_c.GIF (3447 byte)

Trazado de una perpendicular con el método del semi círculo

Trace la línea recta XY y el punto A como se indica más arriba. Prepare un instrumento de medición un poco más largo que la mitad de la distancia que separa el punto A de la recta XY sobre la cual se debe trazar la perpendicular.

10. Desde cualquier punto B sobre la línea XY, mida la distancia AB al punto A.

11. Divida esta distancia AB por 2 y marque el punto central C.

12. Fije el extremo del instrumento de medición en el punto C, tal como se indicó antes en el punto 4.

Marque el punto A
GR128.GIF (2432 byte)
 
Mida la distancia AB
GR128a.GIF (2119 byte)
     
Divida por 2 para hallar el punto medio C
GR128_a.GIF (2555 byte)
 
GR128_b.GIF (3574 byte)

13. Camine con el otro extremo de la cinta métrica hasta el punto B sobre la línea XY y marque claramente esta distancia CB en el instrumento de medición.

14. Trace un arco en el suelo con el segmento CB. Para hacer esto desplace circularmente el extremo del segmento hacia la derecha hasta encontrar la línea XY nuevamente. Marque el punto D.

15. Una el punto D con el punto de partida A, de manera de obtener una nueva recta AD perpendicular a XY.

Determine la longitud CB en la cuerda
GR129.GIF (3665 byte)
 
Trace un arco en el suelo para hallar el punto D
GR129_a.GIF (2633 byte)
     
Una los puntos A y D para formar la perpendicular
GR129_b.GIF (2943 byte)
 
GR129_c.GIF (4323 byte)

Trazado de una perpendicular con el método del punto mediano

16. El modo más simple de trazar una perpendicular desde un punto fijo A sobre la línea XY, consiste en usar una simple cinta métrica o cualquier otro instrumento de medición, cuya mitad esté claramente marcada, por ejemplo mediante un nudo. A tal efecto, el instrumento de medición puede ser una liana, una cuerda o cordel, o también se puede usar una cinta métrica cuya graduación facilitará la determinación de la mitad exacta. Para obtener resultados satisfactorios, se debe emplear una cinta de al menos 8 m de longitud. Una cinta más larga hará que la medición sea aun más precisa. Si el operador trabaja solo, es conveniente que en cada extremo anude una gaza.  
     

17. Trace la línea XY y marque el punto A, a partir del cual se determina la perpendicular. A ambos lados del punto A y a lo largo de la recta XY, mida las distancias iguales AB = AC, de alrededor de 2 metros. Utilice para ello el instrumento de medición elegido y marque los puntos B y C con estacas.

18. Enganche la gaza de uno de los extremos de la cinta en la estaca B y el otro extremo en la estaca C.

Marque el punto A
 

Mida 2 m a ambos lados para hallar los puntos B y C

  Fije las gazas de la cuerda en las varillas B y C

     
19. Sujetando la cinta por la mitad, extienda firmemente la cinta cuidando que los extremos se mantengan siempre enganchados en las estacas B y C. Marque la posición del punto medio D con otra estaca. La recta DA será perpendicular a la línea XY.  
Tense la cuerda desde la gaza intermedia para hallar el punto D
     
Una los puntos A y D para formar la perpendicular
 

Trazado de una perpendicular con el método del punto de intersección

20. Para trazar una perpendicular con el método del punto de intersección es suficiente una simple cinta métrica, como en los casos anteriores. El método depende de la longitud de la cinta. Es importante recordar:

Uso del método del punto de intersección con una cinta corta

21.Para aplicar este método es necesario disponer de una simple cinta de medir, por ejemplo una liana o una cuerda de 5 a 6 m de longitud, de un bastón corto con punta aguda o de una pieza metálica delgada (por ejemplo, un clavo grande) y de cinco estacas o piquetes.

22. Trace la recta XY. Sobre esta línea elija el punto A a partir del cual determinará la perpendicular, y márquelo claramente con una estaca.

23. Con una parte de la cinta de medir, mida una distancia de 2 a 3 m hacia la izquierda del punto A sobre la recta XY. Marque este punto B con otra estaca.

24. Mida la misma distancia, siempre sobre la recta XY, hacia la derecha del punto A. Marque este punto C con una estaca.

 
Marque el punto A
   
 
Halle el punto B con la cuerda
   
 
... y haga un arco para determinar el punto C
   
 

25. Anude una gaza en uno de los extremos de la cinta de medir y sujete firmemente el bastón corto o la pieza metálica delgada en el otro extremo.

26. Coloque la gaza alrededor de la estaca que señala el punto B y luego, estirando la cinta de medir, dibuje un arco grande sobre el suelo con el otro extremo de la cinta. El arco se debe extender más allá del punto A y cubrir una buena distancia a ambos lados de la recta XY.

27. Quite la gaza de la estaca B y colóquela en la estaca C. Dibuje otro arco sobre el suelo que debe cortar el primer arco en dos puntos, D y E.

28. Marque con claridad estos dos puntos D y E, con otras estacas.

 
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Haga los mismo desde el punto C -
los arcos se interceptan en los puntos D y E

 
Desde el punto B trace un gran arco a ambos lados de la línea XY
     

29. Quite la gaza de la estaca C y colóquela en la estaca D; llevando el otro extremo de la cinta camine hacia la estaca E y sujételo allí; verifique si la línea toca la estaca central A (recuerde que se trataba de trazar la perpendicular a partir del punto A). Si la cinta toca efectivamente el punto A, la línea DE constituye la perpendicular que hemos trazado sobre el suelo.

 
Fije la cuerda al punto D y camine hasta el punto E
     
La cuerda tensada forma la perpendicular DAE
 


Uso del método del punto de intersección con una cinta larga

30. Para aplicar este método es necesario disponer de una simple cinta de medir de alrededor de 55 m de longitud, de un bastón corto con punta aguda o de una pieza metálica delgada y de cuatro estacas

31. Marque claramente con una estaca el punto A sobre la línea XY. Deberá determinar la perpendicular a partir de ese punto.

32. Mida 25 a 30 m hacia la izquierda del punto A sobre la línea XY, utilizando parte de su instrumento de medición; marque este punto B con una estaca.

33. Mida la misma distancia, siempre sobre la línea XY, hacia la derecha de A; marque este nuevo punto C con una estaca.

34. Anude una gaza fija en un extremo de la cinta de medir y en el otro fije el bastón de punta aguda o la pieza metálica (tal como descrito en el punto 25, arriba).

 
Marque el punto A
   
 
Use la cuerda para hallar el punto B...
   
 
... y el punto C

35.Coloque la gaza alrededor de la estaca que señala el punto B, y con el otro extremo de la cinta en la mano, camine en diagonal alejándose de la línea XY. Cuando llegue a un punto más allá de A y la cinta esté bien estirada, dibuje un arco de 2 a 3 m de longitud sobre el suelo, con el extremo de la cinta.

36. Repita este último paso a partir de la segunda estaca C. El arco que marcará sobre el suelo a partir de este punto deberá cortar el primer arco en el punto D.

37. En esta intersección, punto D, clave una estaca en el suelo.

38. La línea AD que une D con el punto original A es perpendicular a XY.

Nota: el método llamado de punto de intersección sólo se puede utilizar en terrenos en los cuales no haya piedras grandes y vegetación alta, porque se deben poder trazar y visualizar los arcos fácilmente. De ser necesario, se puede limpiar el terreno a medida que se trabaja sobre él.

 
Desde el punto B, trace un arco por encima del punto A
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Haga lo mismo desde el punto C - los arcos se interceptan en el punto D
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Una los puntos D y A para formar la perpendicular
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Trazado de un perpendicular con el método 3:4:5

39. La regla 3:4:5 dice que todo triángulo cuyos lados sean proporcionales en la relación 3:4:5 tiene un ángulo recto opuesto al lado más largo. El método del mismo nombre está basado en esta regla.

La longitud de la cuerda de agrimensor que se usa para efectuar las mediciones, depende de la longitud de la perpendicular que se debe trazar. Cuanto más larga sea la perpendicular, más larga debe ser la cinta de medición que se use.

Ejemplos

 

40. Para confeccionar una cinta de agrimensor simple, es necesario disponer de una cuerda de 1 a 1.5 cm de espesor; es preferible que se trate de una cuerda de fibras naturales que tiende a encogerse y estirarse menos. Por ejemplo, un trozo de cuerda de sisal usada, que se encoge y estira menos que una nueva. También se puede utilizar una cinta métrica graduada.

41. El método 3:4:5 puede ser aplicado de diversas maneras, según el tipo de cinta de medición que se usa y del número de personas que pueden ayudar. Si se utiliza una cuerda media o larga, es mejor trabajar de a tres; con una cuerda corta o muy corta, se puede trabajar solo.

Confección de una cinta de agrimensor para aplicar el método 3:4:5

42. Es muy fácil confeccionar una cinta de agrimensor simple para aplicar el método 3:4:5. Este tipo de cinta a veces se llama cinta de proporción. Las indicaciones siguientes muestran cómo confeccionar una cinta corta de alrededor de 13 m de longitud, pero también se pueden aplicar a la realización de líneas más cortas o más largas.

43.Tome un trozo de cuerda de alrededor de 13 m de longitud. A pocos centímetros de uno de los extremos, ate firmemente un anillo metálico mediante un hilo grueso.

 
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44. A partir de ese anillo, mida un trozo de cuerda de 3 m de largo y ate un segundo anillo a la cuerda.

45.Con una cinta métrica verifique que la distancia que separa el primero y el segundo anillo sea exactamente 3 m. Si no lo es, corrija la posición del segundo anillo.

 
Ate firmemente el anillo
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Mida de nuevo cuando el anillo esté colocado
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Fije el segundo anillo 3 m más abajo
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46. Mida 4 m de cuerda a partir del segundo anillo y fije un tercer anillo. Verifique la longitud con la cinta métrica y si no es exacta, corrija la posición del tercer anillo.

47. Mida una longitud de 5 m a partir del tercer anillo. Ate este extremo de la cuerda al primer anillo. Verifique la longitud con una cinta métrica y corrija si fuera necesario.

 
Fije el tercer anillo 4 m más abajo y compruebe la medida
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5 m desde el tercer anillo ...
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Compruebe las medidas
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... fije la cuerda al primer anillo
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Utilización de la cuerda 3:4:5 corta para trazar un ángulo recto

48. Trace la recta XY sobre la cual se quiere trazar el ángulo recto utilizando una cuerda corta. Consiga varios jalones de madera o de metal.
.
49. Fije con un jalón o una estaca el anillo comprendido entre los segmentos de 3 m y 4 m de la cuerda corta, en el punto A de la recta XY. Este punto constituirá el ángulo de un estanque de peces que se quiere construir.

 
Fije el primer anillo a una varilla en el punto A
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50. Estire con firmeza el segmento de 3 m a lo largo de la recta XY y fije con una estaca o jalón el anillo entre los segmentos de 3 m y 5 m, en el punto B.  
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Tense el segmento de 3 m hasta el punto B
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... suiete a la estace
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51. Sujete en su mano el anillo entre los segmentos de 4 m y 5 m, y estire la cuerda de manera tal que ella adquiera la forma de un triángulo, verificando que los segmentos de 4 y 5 m estén perfectamente extendidos. Utilice el anillo que lleva en la mano para fijar la cuerda en el punto C, mediante un jalón.

52. El ángulo que se ha formado en el punto A, entre los segmentos de 3 m y de 4 m de la cuerda, es un ángulo recto.

 
Aléjese de la línea XY con el tercer anillo
     
Cuando la cuerda está bien tensa, marque el punto C para formar el ángulo recto
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Note: también es posible utilizar una cuerda 3:4:5 cuyos segmentos sean más cortos. Una cuerda cuyos segmentos sean iguales a 30 cm, 40 cm y 50 cm es ideal para medir ángulos en áreas más pequeñas, por ejemplo para trazar la entalladura en V de una presa (ver Colección FAO: Capacitación número 4, Agua, Sección 36, página 72).


Utilización de la cuerda 3:4:5 media para trazar un ángulo recto

53. Utilice una cuerda de alrededor de 36 m de longitud, confeccionada de la misma manera que una cuerda corta, salvo que los segmentos deben medir respectivamente 9 m, 12 m y 15 m de largo. Comenzando en el punto A, que será el sitio donde se debe trazar el ángulo recto, estire el segmento de 12 m a lo largo de la recta XY; en este punto fije el anillo de la cuerda en el jalón B.

54. Sujetando el segmento de 15 m, camine alejándose del punto B mientras el asistente regresa hacia el punto original A, con el segmento de 9 m de la cuerda.

55. Cuando estos otros dos lados del triángulo están perfectamente estirados, marque el sitio que corresponde al punto C entre los segmentos de 9 m y de 15 m. Este punto define la perpendicular AC de A.

 
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Cuando la cuerda es más larga se necesita un ayudante
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Utilización de la cuerda 3:4:5 larga para trazar un ángulo recto

56. En una cuerda de alrededor de 65 m de largo, marque claramente el 0 m y luego 15 m, 35 m y 60 m. En el caso de esta cuerda se debe trabajar con un equipo de 3 personas.

57. La primera persona sostiene la cuerda en la marca de los 15 m, en el punto B de la recta XY, a partir de la cual se trazará la perpendicular.

58. La segunda persona sostiene el 0 m y la marca de los 60 m juntas, en el punto A de la recta XY.

 
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Junte las marcas de 0 m y de 60 m en el punto A
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En el punto B, la segunda persona sostiene la marca de 15 m

59. La tercera persona toma la cuerda por la marca de los 35 m y camina alejándose de XY. Este ayudante ajusta su posición hasta lograr que los dos lados del triángulo estén completamente tensos. Una vez hecho esto, marca la posición del punto C en el suelo. El punto C, una vez unido al punto B, define la perpendicular BC a la recta XY.

Nota: las distancias se deben verificar al menos dos veces para estar seguros de que no haya errores.

 
La tercera persona se aleja, sosteniendo la marca de 35 m
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Cuando la cuerda está bien tensa,
marque el punto C para formar el ángulo recto

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Utilización de una cinta métrica para trazar un ángulo recto

Se debe trazar, por ejemplo, el eje WZ de una zanja, perpendicular al eje XY de otra zanja. Utilizando una cinta métrica de al menos 80 m de largo y trabajando con un equipo de tres personas, se procede de la siguiente manera:

60. A partir del punto A, que es la intersección de los ejes de ambas zanjas, mida 40 m a lo largo de XY, que es el eje conocido. Marque este punto B.


Mida 40 m hasta el punto B
 
     
61. Mientras una persona sostiene el 0 m de la cinta métrica en el punto B, la segunda persona hace lo mismo con el punto que corresponde a los 80 m en el punto A, donde ambos ejes se encuentran.

62. La tercera persona, sosteniendo la cinta en el punto que corresponde a los 50 m, camina alejándose de XY hasta que la cinta esté completamente tensa. En ese sitio marca claramente el punto C. Ese punto C define el segundo eje WZ, perpendicular al primero.

 
Aléjese de A y B sosteniendo la marca de 50 m
     
La cinta tensa determina el punto A para formar el ángulo recto ángulo
 

Trazado de una perpendicular con la escuadra de agrimensor

63. La escuadra de agrimensor es un instrumento visual poco costoso que es muy útil para trazar ángulos rectos. Existen varios modelos; uno es la escuadra octagonal con hendiduras perpendiculares y otro es el modelo de visual hacia adelante y hacia atrás. Las escuadras de agrimensor durante el uso deben estar firmemente sujetas a un soporte, generalmente una estaca clavada verticalmente en el suelo. Estos instrumentos son eficientes si no se superan los 30 ó 40 m. Es posible conseguir una escuadra de agrimensor en alguna oficina técnica de topografía, pero también se puede construir artesanalmente, tal como se explica a continuación.

Nota: la escuadra de agrimensor octogonal tiene hendiduras adicionales cortadas a 45°, que son muy útiles para trazar ángulos de 45° (vea, por ejemplo, el punto 7, Sección 29).

 
Escuadra profesional de agrimensor
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Mirando a través de una escuadra de agrimensor artesanal
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Construcción artesanal de una escuadra de agrimensor

64. Consiga dos listones de madera o metal de 2 a 3 cm de ancho y de 20 a 25 cm de largo. Determine el centro de los listones en la intersección de las dos diagonales, procediendo como se indicó para definir el centro de la alidada, (ver Sección 31, punto 9). Con el taladro, perfore un hueco pequeño exactamente en el centro de cada listón. Estas piezas serán los traveseros de la escuadra.  
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65. Trace una línea de mira en cada uno de los traveseros. Para hacer esto en listones de madera, clave en el eje de cada una de ellas, dos clavos pequeños sin cabeza cerca de los extremos. Si se trata de listones de metal, puede soldar o encolar clavos pequeños o puntas metálicas cerca de los extremos.  
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66. Coloque los traveseros en ángulo recto y fíjelos mediante un tornillo, en esa posición, a la parte superior de una estaca vertical de 1.50 m de altura. Si coloca unas arandelas entre las piezas de madera y la estaca, luego será más fácil ajustar los listones.

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Ajuste de la escuadra de agrimensor artesanal

67. Trace un ángulo recto en el suelo utilizando una cuerda 3:4:5 larga (vea puntos 56 a 59 de esta Sección). Los lados del triángulo tendrán respectivamente 15 m, 20 m y 25 m de longitud.

68. Coloque una estaca corta en el punto A, el vértice del ángulo recto entre los lados de 15 m y 20 m. Instale a continuación dos jalones en los puntos B y C para marcar los lados del ángulo.

69. Coloque la escuadra en su soporte vertical en el punto A.

70. Disponga uno de los traveseros, alineado con el eje del lado AB y mire hacia el punto B.

71. Sin mover el soporte vertical, alinee el segundo travesero sobre el lado AC del ángulo y mire hacia el punto C. Ajuste suavemente el tornillo para mantener los listones en su lugar.

 
Trace un triángulo recto
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Mire hacia el punto B a través de uno de los listones de la cruz

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Mire hacie el punto C a través del otro y apriete el tornillo
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72. Haga rotar el soporte vertical 90° para verificar que los traveseros estén realmente en ángulo recto. Mire hacia los puntos B y C nuevamente y corrija la posición de los traveseros si fuera necesario.

73. Repita el procedimiento hasta estar seguro de que cada uno de los traveseros está alineado con uno de los lados del ángulo recto, o dicho de otro modo, que entre sí forman un ángulo recto.

74. Cuando ambos traveseros están correctamente alineados, ajuste con fuerza el tornillo que los fija al soporte vertical.

75. Verifique nuevamente las dos líneas de mira, una vez que haya ajustado el tornillo, para estar seguro de que los traveseros no se han desplazado.

76. Para facilitar el ajuste sucesivo de los traveseros, se pueden rayar o grabar marcas (con un clavo grande) en la madera o el metal del travesero inferior, una vez que el superior está en su sitio.

Haga girar la cruz para comprobar su precisión
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Marque el listón inferior como referencia
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Utilización de la escuadra de agrimensor para trazar un ángulo recto

77. El uso de la escuadra de agrimensor requiere la ayuda de un asistente.

78. Trace la línea recta XY a partir de la cual se debe construir el ángulo recto en el punto A.

79. Coloque el soporte de la escuadra de agrimensor en posición vertical en el punto A.

80. Pídale al asistente que sostenga un jalón verticalmente en el punto B, cerca del extremo del segmento XY.

81. Mire a lo largo de uno de los traveseros y haga rotar el soporte vertical hasta que la línea de mira esté alineada con B.

82. Sin mover la escuadra de agrimensor y su soporte vertical, mire a lo largo del otro travesero. Al mismo tiempo, instruya al asistente para que se ubique con un jalón lo más cerca posible de esa línea de visual.

Mire a través de XY para alinear la cruz

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Mire a través del otro listón
de la cruz para determinar la perpendicular

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83. Pídale al asistente que sostenga el jalón delante de él y que se mueva de izquierda a derecha hasta que el jalón se encuentre exactamente en la línea de visual AZ.

84. Cuando esté seguro de que el jalón se encuentra exactamente sobre la línea AZ, pida al asistente que marque su ubicación con el jalón C.

85. El ángulo BAC definido en el punto A, donde habíamos colocado la escuadra de agrimensor, es un ángulo recto.

Ponga el jalón en el punto C de la línea AZ
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BAC es un ángulo recto

Nota: el uso de una escuadra de agrimensor puede ayudar a determinar las superficies rectangulares necesarias para construir un estanque de cría. También se puede trazar un cuadriculado mediante la determinación de ángulos intermedios sobre las líneas rectas. Tales métodos se usan, por ejemplo, para estimar el volumen de un reservorio (ver Colección FAO: Capacitación número 4, Agua, Sección 42, pag.107).

3.7 Cómo trazar rectas paralelas

¿Qué son rectas paralelas?

1. Las rectas paralelas, llamadas también paralelas, son líneas rectas separadas una de otra en cada uno de sus puntos por una distancia constante. Corren una al lado de la otra y no se cruzan jamás. Son muy importantes en piscicultura y se utilizan muy frecuentemente para diseñar granjas piscícolas (por ejemplo en el caso de diques y estanques paralelos), en la construcción de represas y el trazado de canales de agua. Las paralelas también son útiles para trazar líneas rectas en condiciones difíciles (ver Sección 1.7).

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Trazado de paralelas con el método 3:4:5

Un modo de trazar paralelas consiste en utilizar la regla 3:4:5 (ver punto 39 más arriba). Se procede de la siguiente manera:

2. Sobre la línea dada XY, se seleccionan dos puntos A y B bastante alejados uno de otro (por ejemplo, separados por 20 a 30 m) y se marca su ubicación con estacas.

3. Desde cada uno de esos puntos se traza una perpendicular utilizando el método 3:4:5. Recuerde que la longitud de la cuerda de agrimensor utilizada depende de la longitud de la perpendicular que se debe trazar (ver Sección 36, punto 35).

4. Prolongue ambas perpendiculares hasta alcanzar la longitud requerida. Luego, mida en cada una de ellas una distancia igual desde la recta dada XY y marque los dos puntos, C y D.

5. En estos dos puntos trace la recta WZ. Esta nueva recta será paralela a la línea XY.

 

Trace dos perpendiculares...
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Prolónguelas por igual
 
Una los puntos para formar la paralela.
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Trazado de paralelas con el método de las rectas convergentes

La aplicación del método llamado de rectas convergentes no requiere el trazado de perpendiculares; sino que es suficiente la medición de distancias. De todos modos, es un método que no se aplica si se quiere conocer la posición exacta de la paralela* que se traza. En cambio es útil cuando la paralela no está demasiado alejada, por ejemplo cuando se debe prolongar una línea más allá de un obstáculo (ver Sección 1.7). Proceda de la siguiente manera:

6. Trace la recta XY. Elija un punto cualquiera sobre la paralela que se debe trazar. Marque claramente la ubicación del punto A con un jalón.

 
Seleccione el punto A
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7.A partir del punto A, trace la línea oblicua AZ. Marque la ubicación del punto B en la intersección de la recta AZ con la recta original XY.

Nota: una línea oblicua es una recta que no es ni paralela ni perpendicular.

8. Mida la longitud del segmento AB de la línea oblicua.

9. Divida esta longitud por dos. Mida esta distancia a partir del punto A y marque la ubicación del punto C en el medio del segmento.

 
Divida AB por 2 para hallar el punto C
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Seleccione el punto D
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Trace AZ, halle el punto B y mida la distancia AB
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10. Elija un punto D de la recta inicial XY, opuesto al punto A tanto como sea posible.

11. Desde el punto D, trace una línea recta DW que pase por el punto C.

 
Trace la línea DW
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12. Mida la distancia DC.

13. Desde el punto C de la línea DW, mida una distancia igual a la distancia DC. Marque el punto E en el extremo de ese segmento.

14. Una los puntos E y A mediante la recta KL. Esta línea es paralela a la recta XY.

 
Halle el punto E
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Una los puntos A y E para formar la paralela
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Trazado de una serie de áreas rectangulares

15. Cuando se construye una granja piscícola, a menudo es necesario trazar sobre el suelo una serie de parcelas rectangulares. Esas parcelas corresponden a la futura ubicación de estanques o de otras construcciones (ver Colección FAO: Capacitación, Volumen 16/2, Topografía para la píscicultura de agua dulce: levantamientos topográficos)

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16. En primer lugar elija la dirección del eje XY del dique principal, y márquelo con jalones. A partir de las mediciones efectuadas sobre esa recta, es posible marcar la ubicación de los puntos A, B y C donde se trazarán los ejes de los diques secundarios. Se procede de la siguiente manera:  
Trace la línea central del dique principal y determine los puntos
por los cuales los otros diques la cruzarán

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17. Trace varias perpendiculares* de la recta XY, mediante alguno de los métodos indicados en la Sección 36, por ejemplo a partir de los dos puntos extremos A y B (cercanos al final de la recta XY) y desde el punto intermedio C.  
Trace las perpendiculares desde estos puntos
     
18. A partir de los puntos A y B, mida las distancias iguales AF y BG a lo largo de las perpendiculares; estas distancias deben ser iguales a la distancia elegida entre el eje XY del dique central y el eje de los diques opuestos. Marque los dos puntos en las perpendiculares, F y G, con jalones.  
Mida distancias iguales entre las perpendiculares
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19. Trace claramente la recta WZ entre los puntos F y G usando jalones.

20. A partir del punto B de la recta XY, mida las distancias intermedias BE, EC y CD. Luego regrese a la línea WZ y a partir del punto G, mida las distancias intermedias GH, HI e IJ iguales a BE, EC y CD, respectivamente. Parque los puntos H, I y J con estacas.

21. Mientras realiza ese trabajo, verifique que el punto I se encuentre exactamente sobre la perpendicular intermedia trazada a partir del punto C. Si existe una pequeña diferencia, ajuste las posiciones de la perpendicular y el punto I. Si la diferencia es grande, controle todo el trabajo anterior para detectar los errores.

22. Como una verificación final, compruebe que el último segmento JF coincide con el punto F.

 
Trace la paralela WZ
     
 
Trace y compruebe las distancias intermedias