1. Uno de los principales objetivos de un levantamiento topográfico puede ser la determinación del área de una parcela de terreno en la cual se quiere construir una granja piscícola. Puede suceder que, a partir de mapas topográficos ya existentes, haya que calcular el área de la cuenca de un futuro embalse (Ver Agua, Volumen 4 de esta Serie).
Nota: En un levantamiento de campo hay que considerar las áreas de terrenos como superficies horizontales y no las áreas reales de la superficie del terreno. Medimos siempre, por lo tanto, las distancias horizontales.
2. A menudo es necesario saber el área de una sección transversal (ver Sección 9.6) para calcular la cantidad de tierra necesaria.
�rea horizontal
|
Corte trasversal del �rea
|
3. Las áreas se pueden calcular ya sea directamente haciendo las mediciones en el campo, o indirectamente, a partir de un plano o un mapa. En el primer caso habrá que hacer un levantamiento para determinar todas las distancias y ángulos necesarios y así calcular las áreas. En el segundo caso se comenzará por dibujar un mapa o un plano y, utilizando la escala adecuada, se determinará el área en cuestión.
4. Existen varios métodos sencillos para la medición de áreas. Algunos son métodos gráficos en los que se hace una comparación entre el plano o el mapa que se necesita medir y un patrón de área conocida. También existen los métodos geométricos en los que se usan fórmulas matemáticas sencillas para calcular el área de figuras geométricas regulares, como triángulos, trapecios* o áreas delimitadas por curvas irregulares.
Nota: un trapecio es un polígono de cuatro lados, dos de los cuales son paralelos.
5. Estos sencillos métodos se describen en detalle en las siguientes secciones. Se resumen también en el Cuadro 13.
Tri�ngulo
|
Trapecio 1
|
|
Trapecio 2
|
�rea irregular
|
CUADRO 13
|
10.2 Cómo utilizar el método de franjas o bandas para medir áreas |
||
1. Tome un papel transparente como por ejemplo un papel de calco o un papel milimétrico delgado de un tamaño que dependerá del tamaño del área cuyo mapa se está haciendo. 2. Dibuje una serie de bandas trazando un conjunto de líneas paralelas a intervalos fijos regulares. Defina un ancho W de las bandas que equivalga a un número definido de metros. Puede usar para este prop�sito la escala en que est� el mapa o el plano . |
|
|
Ejemplo Escala 1 : 2 000; ancho de la banda W = 1 cm = 20 m Nota: El estimado del área de una parcela será mas preciso cuanto más pequeño sea el ancho de la banda 3. Poner la hoja de papel transparente sobre el mapa o plano del área que queremos medir y fijarla con chinchetas o cinta adhesiva transparente. |
Escala: 1: 2.000
|
|
4. Mida la distancia AB en centímetros de cada banda a lo largo de un eje delimitado por el perímetro del área definida en el mapa. 5.Calcule la suma de estas distancias en centímetros y, de acuerdo con la escala que esté usando, haga la multiplicación para hallar la distancia equivalente en el terreno en metros. |
||
Ejemplo La escala es 1 : 2 000 y 1 cm = 20 m. |
||
6. Multiplicar la suma de las distancias reales (en metros) por el ancho equivalente de la banda W (en metros) para obtener un estimado aproximativo del área total en metros cuadrados (abreviado como m2). Ejemplo La suma de las distancias equivalentes es 320 m.. Nota: 10 000 m2 = 1 hectárea (ha) 7. Repita el procedimiento por lo menos una vez para verificar los cálculos. |
�rea total = 320 m 20 m = 6.400 m2 |
1. Cuando hay que medir áreas directamente en el campo, divida la parcela de terreno en figuras geométricas regulares, como triángulos, rectángulos y trapecios. Haga luego todas las mediciones necesarias y calcule las áreas mediante las fórmulas matemáticas correspondientes (vea Anexo 1). Si dispone del plano o el mapa de un área puede dibujarle estas figuras geométricas y hallar sus dimensiones usando la escala adecuada.
2. En el primer manual de esta serie, Acuicultura de agua dulce: el agua, Colección FAO: Capacitación (4), Sección 20, aprendimos a calcular el área de un estanque usando este método. En los puntos que siguen, aprenderemos su aplicación en condiciones más difíciles.
Medici�n de �reas por tri�ngulos |
||||
3. El cálculo del área de cualquier triángulo es facil de realizar cuando se conocen las dimensiones de:
donde s = (a + b + c) ÷ 2; Ejemplo Si a = 35 m; b = 29 m; y c = 45,5 m. Luego s = (35 m + 29 m + 45,5 m) � 2 = 54,75 m Área 2 = 54.75 m (54.75m - 35 m) (54.75 m - 29
m)(54.75 m - 45.5 m) Área = �(257 555 m4) = 507 m2
|
|
|||
Ejemplo Si b = 29 m; c = 45,5 m; y el ángulo BAC = 50°. |
|
Valores del seno de los �ngulos
|
4. Subdivida la parcela de tierra en triángulos. Para el caso de un área que tenga cuatro lados se puede hacer de dos maneras:
|
Dos tri�ngulos
|
|
5. Si la parcela de tierra tiene más de cuatro lados, se puede subdividir en triángulos:
|
Trazados radiales desde la estaci�n central
|
|
Trazados radiales desde la estaci�n central
|
Trazados radiales desde una estaci�n lateral
|
6. Compruebe los cálculos realizados. Si ha hallado el área usando los dos ángulos opuestos, aplique el primer método. Si ha empleado la radiación, aplique el segundo.
|
7. Cuando el terreno tiene una forma poligonal, generalmente se subdivide el área total que se quiere medir en una serie de figuras geométricas regulares (1-7 en el ejemplo) a partir de una línea base común AD. Desde dicha línea se trazan perpendiculares hasta los vértices del polígono formando de esta manera los triángulos rectángulos 1, 2, 3 y 7, y los trapecios 2, 5 y 6. 8. Cuando elija la línea base acuérdese que esta debería:
|
�rea = (base x altura) � 2
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. Calcule el área de cada triángulo rectángulo mediante la fórmula:
10. Calcule el área de cada trapecio mediante la fórmula:
donde:
|
�rea = altura x (base 1 + base 2) � 2
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. Sume todas las áreas parciales para hallar el área total del terreno. Debería hacer un cuadro con todas las dimensiones de los triángulos (con una sola base) y los trapecios (con dos bases), como se muestra en el ejemplo. Ejemplo
L�nea base (en m) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Línea base (en m)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1TR = triángulo rectángulo; TP trapecio |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Subdivisión de áreas de terreno sin líneas de base |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. Cuando la forma del terreno es más complicada que las que hasta ahora hemos aprendido a medir, habrá que usar más de una línea base, y subdividir el área en triángulos y trapecios de varios tipos. Por lo general no será posible crear triángulos rectángulos con los cuales trabajar y habrá que calcular el área de los trapecios haciendo otras mediciones con las cuales se podrá determinar su altura a lo largo de líneas perpendiculares. |
Ejemplo
El per�metro de un terreno ABCDEFGHIA por el cual pasa un r�o se subdivide en cinco lotes 1-5 que forman tres tri�ngulos (1, 2, 5) y dos trapecios (3 con BE paralela a CD y 4 con EI paralela a FH). Los l�mites del terreno forman un pol�gono cerrado que se ha levantado topogr�ficamente como sigue.
13. Calcular las áreas de los triángulos 1, 2 y 5, usando las longitudes de sus tres lados y las siguientes fórmulas:
Ejemplo Mida los lados de los tri�ngulos. Aplique la fórmula area = �s(s- a)(s- b)(s-c) en la siguiente tabla:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14. Calcular las áreas de los trapecios 3 y 4 determinando sus alturas y las longitudes de sus bases, mediante la siguiente fórmula:
Ejemplo Mida los lados de los triángulos. Aplique la fórmula en la siguiente tabla:
15. Añadir el area total de los triángulos (punto 12) al área total de los trapecios (punto 14) para así obtener el área total del terreno. Ejemplo Área total de los triángulos =
667337 m2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. Otra manera, más fácil, de hacer estos cálculos es medir en el plano la altura de cada triángulo midiendo la perpendicular trazada desde un vértice hasta el lado opuesto (llamado base). Luego, se calcula el área de cada triángulo con la fórmula:
Introduzca los datos en un solo cuadro, tal como se explicó en el punto 11, arriba. Ejemplo Medir en el plano las alturas BJ, BK, y LG en los triángulos 1, 2 y 3 respectivamente.. Introducir los datos en la siguiente tabla:
El área total de la parcela de terreno es 145, 36 ha, ligeramente diferente al estimado que se hizo antes (ver punto 15). Esto se debe a errores de escala cuando se hicieron las mediciones en el plano que, en este caso, son suficientemente pequeños (0,11 ha ó 0,07 por ciento) como para ser aceptados. |
3. Trace una línea recta AB que una los lados de la parcela de terreno pasando lo más cerca posible de la parte curva de su perímetro. Para determinar el área irregular ABCDA, haga lo siguiente:
4. Mida la distancia AB y subdivídala en un número de intervalos regulares, cada uno, por ejemplo, de 22,5 m. Marque con jalones en AB cada uno de los intervalos
Nota: Cuanto mas cortos sean los intervalos, m�s preciso ser� el estimado del �rea.
5. Trace una perpendicular desde cada uno de los intervalos marcados (ver Sección 33) uniendo AB al perfil de la curva. Mida cada una de estas perpendiculares. 6. Calcule el área ABCDA usando la fórmula:
|
|||
donde:
|
|||
Ejemplo Intervalo = 112.5 m � 5 = 22.5 m Nota: recuerde que debe también calcular el área de AXYBA y sumarla al área de ABCDA para tener el área total DAXYBCD. |
|||
7. Los cálculos se pueden simplificar si se logra trazar la línea AB de manera que toque los dos extremos del lado curvado. En este caso, h0, y hn son ambos iguales a cero, y la fórmula se convierte en:
donde hi es la suma de las longitudes de todas las perpendiculares intermedias. |
|||
Ejemplo Intervalo = 158 m � 6 = 26.3 m Nota: recuerde que debe también calcular el área de AXYBA y sumarla al área de la parte curva para tener así el área total |