10.  MESURE DES SURFACES

10.1 Introduction

1. La d�termination de la surface d'un terrain sur lequel vous voulez construire une ferme piscicole peut constituer l'un des principaux objectifs d'un lev� topographique. Par ailleurs, vous pouvez avoir � calculer la superficie d'un bassin hydrographique ou d'un futur r�servoir � partir des cartes topographiques existantes (voir Pisciculture continentale: l'eau, Collection FAO: Formation, n� 4).

Note: Lors de lev�s topographiques, les surfaces de terrains doivent �tre consid�r�es comme des surfaces horizontales, et non des superficies r�elles au sol. Aussi doit-on toujours mesurer les distances horizontales.

2. Dans de nombreux cas, vous devrez conna�tre les surfaces de profils en travers pour pouvoir calculer le volume des terrassements � effectuer.

 
     
3. Vous pouvez d�terminer les surfaces soit directement, � partir de mesures sur le terrain, soit indirectement � partir d'un plan ou d'une carte. Dans le premier cas, vous obtiendrez toutes les mesures de distances et d'angles dont vous avez besoin par un lev� topographique et vous calculerez les surfaces d'apr�s ces mesures. Dans le second cas, vous devrez tracer au pr�alable un plan ou une carte (voir chapitre 9). Ensuite, l'�chelle vous permettra de d�terminer les dimensions n�cessaires au calcul des surfaces.

4. Il existe plusieurs m�thodes simples de mesure des surfaces. Il peut s'agir de m�thodes graphiques; elles consistent � comparer � un canevas d�j� trac�, de dimensions unitaires connues, le plan ou la carte dont vous devez mesurer la surface. Il peut s'agir �galement de m�thodes g�om�triques, comportant l'utilisation de formules math�matiques simples pour calculer les surfaces de figures g�om�triques r�guli�res, telles que triangles, trap�zes* ou surfaces d�limit�es par une courbe irr�guli�re.

5. Les m�thodes simples en question seront d�crites en d�tail aux sections suivantes. Elles sont r�capitul�es au tableau 13.

 
     

TABLEAU 13
M�thodes simples de mesure des surfaces

Section 
 M�thode
 Remarques
  10.2

  10.3

  10.4
 
 
 

  10.5

 Bandes

 Quadrillage

 Subdivision en 
 figures g�om�triques
 r�guli�res (triangles,
 trap�zes, etc.)

 R�gle des trap�zes
 

 M�thode graphique fournissant des estimations peu pr�cises

 M�thode graphique fournissant de bonnes � tr�s bonnes estimations

 M�thode g�om�trique fournissant de bonnes � tr�s bonnes estimations
 
 
 

 M�thode g�om�trique fournissant de bonnes � tr�s bonnes estimations
 Convient aux surfaces d�limit�es par une courbe irr�guli�re


10.2 Comment mesurer les surfaces par la m�thode des bandes

1. Prenez une feuille de papier transparent, par exemple de papier calque ou de papier millim�tr� quadrill� l�ger. Choisissez les dimensions de la feuille suivant celles de la surface cartographi�e � mesurer.

2. Sur cette feuille, tracez une s�rie de bandes d�limit�es par des parall�les r�guli�rement espac�es. D�terminez cette largeur de bande W de fa�on qu'elle corresponde � un nombre entier d�termin� de m�tres. Vous pouvez utiliser � cet effet l'�chelle du plan ou de la carte.

 
     

 Exemple

Echelle 1: 2 000; largeur de bande W = 1 cm = 20 m.
Echelle 1: 50 000; largeur de bande W = 1 cm = 500 m.

Note: L'estimation de la surface sera d'autant plus pr�cise que les bandes seront plus �troites.

3. Placez la feuille de papier transparent sur le plan ou la carte de la surface � mesurer et fixez-la convenablement par des punaises ou du papier adh�sif transparent.

 
     

4. A l'int�rieur de chaque bande, mesurez la distance AB en centim�tres, le long d'une ligne droite centrale trac�e entre les limites de la surface repr�sent�e sur la carte.

5. Calculez la somme de toutes ces distances en centim�tres. Puis, suivant l'�chelle utilis�e, multipliez la somme obtenue afin de d�terminer la distance �quivalente sur le terrain, en m�tres.

  
     

Exemple

Echelle 1: 2 000 et 1 cm = 20m.
Somme des distances = 16cm.
Distance �quivalente sur le terrain: 16 m x 20 m = 320 m.

  
     

6. Multipliez cette somme des distances r�elles (en m�tres) par la largeur �quivalente de la bande W (en m�tres) afin d'obtenir une estimation approch�e de la surface totale en m�tres carr�s.

Exemple

Somme des distances �quivalentes �gale � 320 m.

Largeur de bande (1 cm) �quivalente � 20 m.

Surface du terrain: 320 m x 20 m = 6 400 m2 ou 0,64 ha.

Note: 10 000 m2 = 1 hectare (ha)

7. Recommencez cette op�ration au moins une fois � titre de v�rification.

 

10.3 Comment mesurer des surfaces par la m�thode du quadrillage

1. Prenez une feuille de papier quadrill� transparent ou tracez vous-m�me un quadrillage sur une feuille de papier calque transparent. Pour cela, tracez une grille de carr�s de 2 mm de c�t� � l'int�rieur d'un carr� de 10 cm de c�t�, suivant l'exemple ci-contre.

Note: Un quadrillage dont les carr�s unitaires sont plus petits vous permettra d'obtenir une estimation plus pr�cise de la superficie du terrain; en pratique, cependant, la taille minimale est de 1 mm x 1 mm = 1 mm2.

 
     

2. Posez ce quadrillage transparent sur le croquis de la surface � mesurer et fixez-le solidement � l'aide de punaises ou de ruban adh�sif. Si les dimensions du quadrillage sont inf�rieures � celles du croquis de la surface, commencez � partir d'un des bords. Marquez visiblement le bord du quadrillage, puis posez celui-ci sur la portion suivante du plan et r�p�tez cette op�ration sur tout le reste de la surface.

3. Comptez le nombre de carr�s entiers compris � l'int�rieur du terrain dont vous avez � mesurer la surface. Afin d'�viter les erreurs, marquez chaque carr� d�nombr� d'un petit trait au crayon.

Note:Vers le centre du terrain, vous aurez sans doute la possibilit� de d�nombrer des carr�s plus importants constitu�s par exemple de 10 x 10 = 100 petits carr�s. Cela vous simplifiera le travail.

 
     

4. Examinez les carr�s situ�s pr�s du bord du croquis. Tout carr� dont plus de la moiti� est situ�e � l'int�rieur du croquis doit �tre compt� et marqu� comme un carr� entier. On ne tient pas compte des autres parties de carr�s.

 
     

5. Ajoutez les deux sommes ainsi calcul�es (points 3 et 4) afin d'obtenir le nombre total T de carr�s entiers.

6. Ajoutez de nouveau les deux sommes au moins une fois � titre de contr�le.

7. En tenant compte de l'�chelle des distances utilis�e pour le croquis, calculez la superficie unitaire �quivalente du quadrillage, c'est-�-dire la superficie de l'un des petits carr�s.

Exemple

  • Echelle 1: 2 000 ou 1 cm = 20 m ou encore 1 mm = 2 m.
  • Dimension des carr�s du quadrillage 2 mm x 2 mm.
  • Superficie unitaire �quivalente du quadrillage
    = 4 m x 4 m = 16m2.
  
     

8. Il suffit ensuite de multiplier la superficie unitaire �quivalente par le nombre total T de carr�s entiers pour obtenir une assez bonne estimation de la superficie � mesurer.

Exemple

  • Nombre total de carr�s entiers T = 256.
  • Superficie unitaire �quivalente 16 m2.
  • Superficie totale = 256 x 16 m2 = 4 096 m2.

Note: Avec des plans � grande �chelle, tels que les coupes en travers, il est possible d'accro�tre la pr�cision d'estimation de la surface en modifiant le point 5 ci-dessus. A cet effet, examinez tous les carr�s situ�s au bord du croquis de la surface et travers�s par son contour. Estimez ensuite � vue la fraction d�cimale de la totalit� du carr� dont il convient de tenir compte dans le total (la partie d�cimale est �gale � une fraction du carr� exprim�e sous forme d�cimale, par exemple 0,5, c'est-�-dire 5/10).

Exemple

Carr� A = 0,5; B = 0,1; C = 0,9.

 

 

10.4 Comment subdiviser la surface en figures g�om�triques r�guli�res

1. Si vous devez effectuer directement sur le terrain des mesures de surface, divisez la parcelle consid�r�e en figures g�om�triques r�guli�res, par exemple en triangles, en rectangles ou en trap�zes*. Faites ensuite toutes les mesures n�cessaires, puis calculez toutes les surfaces correspondantes d'apr�s les formules math�matiques appropri�es (voir annexe 1). Si vous avez un plan ou une carte du terrain, vous pouvez y tracer ces figures g�om�triques, puis d�terminer leurs dimensions d'apr�s l'�chelle.

2. Dans le premier manuel de la pr�sente s�rie, Pisciculture continentale: l'Eau, Collection FAO: Formation, n� 4, vous avez appris � la section 2.0 � calculer la surface d'un �tang suivant cette m�thode. Vous apprendrez ci-dessous � appliquer cette m�thode dans des conditions plus difficiles.

 
     

Utilisation de triangles pour la mesure de surfaces

3. La surface d'un triangle quelconque est facile � calculer � partir des dimensions:

  • des trois c�t�s a, b et c

                                      Surface = � s(s-a) (s-b) (s-c)

        avec s = (a + b + c)�2; ou

Exemple

Supposons a = 35 m, b = 29 m et c = 45, 5.

On obtient alors s = (35 m + 29 m + 45,5 m) � 2 = 54,75 m.

(Surface)2 = 54,75 m (54,75m - 35 m) (54,75 m - 29 m) (54,75 m - 45,5 m) =  54,75 m x 19,75 m x 25,75 m x 9,25 m = 257 555 m4

Surface = �(257 555 m4) = 507 m2

  • de deux c�t�s (b, c) et de la valeur de l'angle BAC form� par ces deux c�t�s

                                        Surface = (bc sin BAC) � 2

obtenant la valeur de sinus BAC du tableau 14.

 
     

Exemple

Supposons b = 29 m; c = 45,5 m et l'angle BAC = 50�

Alors, sinus BAC = 0,7660

(tableau 14); et

Surface = (29 m x 45,5 m x 0,7660) � 2 = 1 010,737 � 2 = 505,3685 m2.

 

TABLEAU 14
Valeurs du sinus des angles

Angle
(degr�s)

 Sinus

Angle 
(degr�s)

 Sinus

Angle
(degr�s)

Sinus

1
2
3
4
5

6
7
8
9
10

11
12
13
14
15

16
17
18
19
20

21
22
23
24
25

26
27
28
29
30

0.0175
0.0349
0.0523
0.0698
0.0872

0.1045
0.1219
0.1392
0.1564
0.1736

0.1908
0.2079
0.2250
0.2419
0.2588

0.2756
0.2924
0.3090
0.3256
0.3420

0.3584
0.3746
0.3907
0.4067
0.4226

0.4384
0.4540
0.4695
0.4848
0.5000

31
32
33
34
35

36
37
38
39
40

41
42
43
44
45

46
47
48
49
50

51
52
53
54
55

56
57
58
59
60

0.5150
0.5299
0.5446
0.5592
0.5736

0.5878
0.6018
0.6157
0.6293
0.6428

0.6561
0.6691
0.6820
0.6947
0.7071

0.7193
0.7314
0.7431
0.7547
0.7660

0.7771
0.7880
0.7986
0.8090
0.8192

0.8290
0.8387
0.8480
0.8572
0.8660

61
62
63
64
65

66
67
68
69
70

71
72
73
74
75

76
77
78
79
80

81
82
83
84
85

86
87
88
89

0.8746
0.8829
0.8910
0.8988
0.9063

0.9135
0.9205
0.9272
0.9336
0.9397

0.9455
0.9511
0.9563
0.9613
0.9659

0.9703
0.9744
0.9781
0.9816
0.9848

0.9877
0.9903
0.9925
0.9945
0.9962

0.9976
0.9986
0.9994
0.9998


4. Divisez le terrain en triangles. Dans le cas d'une surface � quatre c�t�s, on peut proc�der de deux fa�ons.

  • Vous pouvez relier deux sommets oppos�s par une ligne droite BD. Mesurez ensuite la longueur de cette droite BD afin de d�terminer la longueur des trois c�t�s de chacun de deux triangles, puis calculez leurs surfaces respectives (voir point 3 ci-dessus). La somme des deux surfaces triangulaires est �gale � la superficie totale.
  • Vous pouvez proc�der par rayonnement � partir de la station centrale 0. Mesurez les angles adjacents AOB, BOC, COD et DOA. Mesurez ensuite les distances OA, OB, OC et OD entre le point 0 et chacun des sommets du terrain, puis calculez la surface de chaque triangle (voir point 3 ci- dessus). La somme des quatre surfaces triangulaires est �gale � la superficie totale.

5. Un terrain comportant plus de quatre c�t�s peut �galement �tre d�compos� en triangles:

  • par rayonnement � partir d'une station centrale O (voir point 4 ci-dessus); ou
  • par rayonnement � partir d'une station lat�rale, par exemple le sommet A.
  
     
6. V�rifiez ensuite vos calculs. Si vous avez calcul� la surface � partir de deux sommets oppos�s, utilisez la premi�re m�thode. Si vous avez proc�d� par rayonnement, utilisez la seconde.
  • Mesurez de nouveau la superficie totale en utilisant les deux autres triangles ABC et ACD form�s par la droite AC.
  • Ou bien, mesurez de nouveau les angles et les longueurs des c�t�s, soit � partir de la m�me station, soit � partir d'une station diff�rente.
  

Utilisation d'une ligne de base pour d�composer les surfaces de terrain

7. Dans le cas d'un terrain de forme polygonale*, il convient g�n�ralement de d�composer la surface totale � mesurer en une s�rie de figures g�om�triques r�guli�res (de 1 � 7 dans l'exemple choisi) � partir d'une ligne de base commune AD. Vous devez ensuite implanter des offsets (voir section 7.3) � partir des autres sommets du polygone* perpendiculairement � cette ligne de base, pour former par exemple les triangles rectangles 1, 3, 4 et 7 et les trap�zes 2, 5 et 6.

8. La ligne de base choisie doit r�pondre aux conditions suivantes:

  • �tre facilement accessible sur toute sa longueur;
  • permettre d'effectuer de bonnes vis�es en direction de la plupart des sommets du polygone;
  • �tre trac�e suivant le c�t� le plus long de la surface, de fa�on que les offsets restent aussi courts que possible;
  • relier deux sommets du polygone.

9. Calculez la surface de chaque triangle rectangle*,par la formule:

Surface = (base x hauteur) � 2

10. Calculez la surface de chaque trap�ze* par la formule:

Surface = hauteur x (base 1 + base 2) � 2

    avec:

  • la base 1 parall�le � la base 2;
  • la hauteur �gale � la distance suivant une perpendiculaire (par exemple, IJ, KL et KH) entre les bases 1 et 2.
  
     

11. Additionnez toutes ces surfaces partielles pour d�terminer la surface totale. Il convient d'utiliser un tableau pour noter toutes les dimensions importantes, aussi bien des triangles rectangles (une base) que des trap�zes (deux bases), comme indiqu� dans l'exemple ci-dessous.

Exemple

  • Suivant la ligne de base AD, mesurez � partir du point A les distances cumul�es aux points H, I, J, K, L et D, comme suit:

    • Ligne de base (en m�tres)

  • A partir de ces mesures, d�terminez les distances partielles pour chaque segment AH, HI, IJ, JK, KL et LD, comme suit:

    Ligne de base (en m�tres)

  • Mesurez les offsets HG, IB, ... LE sur les perpendiculaires �lev�es � partir de la ligne de base vers chaque sommet du polygone:

HG = 11,80 m; IB = 5,20 m; ... LE = 9,65 m.

  • Inscrivez ces donn�es dans le tableau ci-apr�s et d�terminez les surfaces partielles des parcelles 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7; la somme de ces superficies est �gale � la surface totale.
  
     
Parcelle n�
 Hauteur  (m)
Base(m)
(B1+B2) � 2 (m)
Surface (m2)
1
2
1 TR1
5.20
6.50
-
3.25
16.90
2 TP1
7.65
5.20
6.20
5.70
43.61
3 TR
6.20
17.10
-
8.55
53.01
4 TR
9.65
4.00
-
2.00
19.30
5 TP
10.50
9.65
14.80
12.22
128.31
6 TP
13.95
14.80
11.80
13.30
185.54
7 TR
11.80
2.80
-
1.40
16.52
Surface area
463.19

1TR = triangle rectangle; TP = trap�ze
     

D�composition de surfaces de terrain sans utilisation de lignes de base

12. Si la forme du terrain s'av�re plus complexe que celle des terrains dont vous venez d'apprendre � mesurer la surface, vous devez d�composer la surface en triangles et en trap�zes de diff�rentes formes. En r�gle g�n�rale, vous ne trouverez aucun angle droit, et le calcul de la surface des trap�zes exigera des mesures suppl�mentaires, de fa�on � mesurer leurs hauteurs suivant des perpendiculaires.  

Exemple

Consid�rons le terrain ABCDEFGHIA situ� le long d'un cours d'eau et subdivis� en cinq parcelles num�rot�es de 1 � 5, � savoir trois triangles (1, 2 et 5) et deux trap�zes (3 dont les c�t�s BE et CD sont parall�les et 4 dont les c�t�s El et FH sont parall�les). Le terrain a la forme d'un polygone ferm�, dont le lev� topographique a �t� effectu� comme indiqu�.

13. Calculez les surfaces des triangles 1, 2 et 5, d'apr�s les longueurs de leurs trois c�t�s, en appliquant les formules suivantes:

s = (a + b + c) � 2

Surface = �s(s-a)(s-b)(s-c)

Example

Mesurez si n�cessaire les c�t�s des triangles et appliquez la formule

Surface = �s(s- a)(s- b)(s-c)

� l'aide du tableau suivant:

Triangle
Longueur des
c�t�s
(x en m�tres)
s (m)
(s- x) en m�tres
Surface (m2)
a
b
c
(s-a)
(s-b)
(s-c)
1
650
860
860
1185
535
325
325

258773.25

2
860
980
840
1340
480
360
500

340258.66

5
660
420
360
720
60
300
360

68305.16

Surface totale des triangles 

667337.07

 
     

14. Calculez les surfaces des trap�zes 3 et 4 d'apr�s la longueur des hauteurs et des bases, en appliquant la formule suivante:

Surface = hauteur x (base 1 + base 2) � 2

Example

Mesurez si n�cessaire les hauteurs et les bases des trap�zes et appliquez la formule � l'aide du tableau suivant:

Parcelle No.
Hauteur (m)
Base (m)
(B1 + B2) / 2 (m)
Surface (m2)
1
2
3
560
980
600
790
442400
4
460
840
660
750
345000
Surface totale des trap�zes

787400

15. Ajoutez la surface totale des triangles (point 12) � la surface totale des trap�zes (point 14), afin d'obtenir la surface totale de la parcelle de terrain.

Example

Surface totale des triangles =   667337 m2
Surface totale des trap�zes =   787400 m2
Surface totale du terrain     = 1454 737 m2
                                     = 145.47 ha

  
     

16. Une autre fa�on de faire les calculs consiste � mesurer sur un plan la hauteur de chaque triangle suivant la perpendiculaire abaiss�e depuis l'un des sommets sur le c�t� oppos� (c'est-�-dire la base). Ensuite, la surface de chaque triangle se calcule comme suit:

Surface = (hauteur x base) � 2

Inscrivez toutes les donn�es dans un tableau unique, comme indiqu� dans l'example ci-dessus.

Exemple

Mesurez sur un plan les hauteurs BJ, BK et LG des triangles 1, 2 et 5 respectivement.
Inscrivez toutes les donn�es dans le tableau suivant:

Parcelle No.
Hauteur (m)
Base (m)
(B1 + B2) / 2 (m)
Surface (m2)
1
2

1

600

860

-

430

258000

2

810

840

-

420

340200

3

560

980

600

790

2400

4

460

840

660

750

345000

5

206

660

-

330

67980

Surface totale du terrain

1453580

La surface totale du terrain est �gale � 145,36 ha; elle diff�re donc l�g�rement de l'estimation pr�c�dente (voir point 15). Cela r�sulte d'erreurs de mesure � l'�chelle, � partir du plan, n�anmoins suffisamment petites (0,11 ha ou 0,07 pour cent) dans ce cas pour �tre admissible.

  

10.5 Comment mesurer des surfaces d�limit�es par une courbe

1 . Au volume 4 de la pr�sente s�rie, intitul� Pisciculture continentale: l'eau, vous avez appris � calculer la surface d'un �tang dont un c�t� est incurv� (voir section 2.0). Il est possible de suivre une proc�dure analogue pour d�terminer la surface d'un terrain d�limit� par une courbe r�guli�re, en essayant de compenser les surfaces partiellement d�compt�es.

2. Si une partie du terrain est d�limit�e d'un c�t� par une courbe irr�guli�re, par exemple une route ou un cours d'eau, l'application de la r�gle des trap�zes d�crite dans la pr�sente section permet d'en d�terminer la surface.

 

3. Tracez la ligne droite AB reliant les c�t�s du terrain aussi pr�s que possible de la limite incurv�e. Proc�dez comme suit pour d�terminer la surface irr�guli�re ABCDA.

4. Mesurez la distance AB et subdivisez-la en un certain nombre de segments �gaux, par exemple de 22,5 m de long chacun. Rep�rez chacun de ces segments le long de AB par des jalons.

Note: Plus ces segments seront courts, plus l'estimation de la surface sera pr�cise.

  
     

5. En chacun des points rep�r�s, �levez une perpendiculaire reliant la droite AB au c�t� incurv�. Mesurez chacun de ces offsets (voir section 7.3).

6. Calculez la surface de ABCDA � l'aide de la formule suivante:

Surface = intervalle x (ho + hn + 2hi) � 2

avec:

ho: longueur du premier offset, AD;
hn: longueur du dernier offset, BC;
hi: somme des longueurs de tous les offsets interm�diaires.

Exemple

  • Longueur des segments (intervalle) = 112,5 m � 5 = 22,5 m.
  • Ro = 20 m et hn = 10 m.
  • hi= 27 m + 6 m + 14 m + 32 m = 79 m.
  • Surface ABCDA = 22,5 m x (20 m + 10 m + 158 m) � 2 = (22,5 m x 188 m) � 2 = 2 115 m2.

Note: N'oubliez pas qu'il vous reste � calculer la surface AXYBA et � l'ajouter � celle de ABCDA pour obtenir la surface totale DAXYBCD.

  
     

7. Si vous pouvez tracer la ligne droite AB de fa�on qu'elle co�ncide avec les deux extr�mit�s du c�t� incurv�, cela simplifiera consid�rablement les calculs; dans ce cas, ho et hn sont tous les deux �gaux � 0 et la formule ci-dessus devient:

Surface = intervalle x hi

avec hi = somme des longueurs des offsets interm�diaires.

Exemple

Segments (intervalles) = 158 m � 6 = 26,3 m.
hi = 25m + 27m + 2m + 23m + 24m = 101 m.
Surface = 26,3 m x 101 m = 2 656,3 m2.

Note: N'oubliez pas qu'il vous reste � calculer la surface de AXYBA et � l'ajouter � celle de la partie limit�e par la courbe pour obtenir la surface totale.