3. MEDICIÓN DE ÁNGULOS HORIZONTALES

3.0 Introducción

¿Qué es un ángulo horizontal?

¿Cómo se expresan los ángulos horizontales?

2. Los ángulos horizontales en general se expresan en grados. Un círculo completo se divide en 360 grados, abreviado como 360°. Nótense en la figura los dos ángulos particulares aquí mencionados:

• un ángulo de 90°, llamado ángulo recto, formado por dos rectas perpendiculares; los ángulos de un cuadrado son todos ángulos rectos;
• un ángulo de 180° obtenido prolongando una línea recta; en realidad es lo mismo que una línea recta.

3. Cada grado se divide en unidades más pequeñas:

• 1 grado = 60 minutos (60');
• 1 minuto = 60 segundos (60").

De todos modos, estas unidades más pequeñas sólo pueden ser medidas con instrumentos de alta precisión.

Algunas reglas generales sobre los ángulos

4. Una figura de forma cuadrada o rectangular tiene cuatro lados rectos y cuatro ángulos interiores de 90°. La suma de esos cuatro ángulos interiores es igual a 360°.

5. La suma de los cuatro ángulos interiores de cualquier figura de cuatro lados rectos es siempre igual a 360°, aunque los ángulos no sean rectos.

6. Puede ser útil recordar la regla general que dice que la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono (una figura con varios lados) es igual a 180° multiplicado por el número de lados, N, menos 2:

Ejemplos

(a) Un terreno tiene cinco lados. La suma de sus ángulos interiores será igual a (5-2) x 180° = 540°.

(b) un terreno tiene ocho lados. La suma de sus �ngulos interiores ser� igual a (8-2) x 180� = 1 080�.

CUADRO 2
M�todos de medici�n de �ngulos horizontales

¹*Simple    **más difícil     ***muy difícil
² En cursiva, equipo que usted mismo puede hacer.

10. A continuación para fijar la alidada a la base, se coloca una arandela delgada sobre el hueco perforado en la plancha. Se alinea el agujero central de la alidada con la arandela, se colocan otras dos arandelas, una debajo de la plancha y otra sobre la alidada y se hace pasar el tornillo a través de las arandelas, el agujero de la alidada, el de la plancha y se ajusta con la tuerca, de manera tal que baste una ligera presión para girar la alidada.

Clavar en la l�nea central los clavos que sirven de mira

12. En uno de los extremos de la alidada se traza una flecha que partiendo del tornillo colocado en el centro, recorra a lo largo la línea mediana y vaya más allá del clavo colocado cerca del final. La punta de la flecha debe apuntar exactamente al extremo de la línea mediana más allá del clavo. Esta fecha facilitará la lectura de la graduación.

Uso del grafómetro artesanal para medir ángulos horizontales 

15. Controlar que el grafómetro esté lo más horizontal posible. A tal efecto, colocar un lápiz redondo sobre el tablero. Si el lápiz no rueda, desplazarlo 90° y probar nuevamente. Si el lápiz no rueda en ninguna de las dos direcciones, quiere decir que el grafómetro está horizontal.

Medición de un ángulo cuyo vértice es inaccesible

Ejemplo

No es posible acceder al vértice A para medir el ángulo XAY. Desde el punto B de la línea AX se traza la recta BC, cuyo punto C está sobre la línea AY. En la estación B se mide el ángulo CBA = 60°; en la estación C, se mide el ángulo BCA = 73°. Se calcula el ángulo XAY = 180° - (60° + 73°) = 47°.

Trace la l�nea BC

Ejemplo

Es imposible acceder al vértice A para medir el ángulo XAY. Sobre la recta AX se marcan dos puntos B y C. Desde estos puntos se trazan las perpendiculares BZ y CW, sobre las cuales se miden los segmentos de igual longitud desde la recta AX, llamados BD y CE. Se unen los puntos E y D para formar la línea que es paralela a AX. Se prolonga la recta ED hasta que corta la línea AY en el punto F. Desde la estación en el punto F, se mide el ángulo EFY. Su medida será igual a la del ángulo XAY.

Medición de ángulos adyacentes

22. Desde una estación dada es posible que se deban medir varios ángulos formados por una serie de líneas que se encuentran en un punto y que se llaman rectas convergentes. Los ángulos así formados se llaman ángulos adyacentes.

23. Para medir los ángulos adyacentes, conviene medirlos todos juntos usando la línea a la extrema izquierda como línea de referencia. Luego se puede calcular por simple sustracción el valor de cada ángulo.

3.2 Cómo se utiliza la brújula

¿Qué es una brújula?

1. Una brújula simple se compone generalmente de una aguja magnética que oscila libremente sobre un pivote en el centro de un círculo graduado. La aguja magnética se orienta automáticamente hacia el norte magnético*. La aguja está encerrada en una caja con tapa transparente que la protege.

2. Las brújulas de orientación en general se montan sobre un trozo rectangular pequeño de plástico transparente. Están dotadas de una línea de mira en el eje de un espejo móvil. Cuando el espejo se inclina, es posible observar simultáneamente la brújula y la recta trazada en el suelo.

5. El anillo exterior de la brújula en general está graduado en 360°. La graduación 0° ó 360° lleva la indicación N, o sea el Norte. En muchas brújulas la graduación aumenta en el sentido de las agujas del reloj y se pueden leer las siguientes letras en el círculo:

• a 90�, E for Este;
• a 180�, S for Sur;
• a 270�, O for Oeste.

A veces también se indican las orientaciones intermedias tales como NE, SE, SO y NO.

Uso de la brújula para medir ángulos horizontales

7. En cualquier punto dado, el ángulo formado por el norte magnético y una línea recta se llama azimut de esa línea. El azimut magnético con relación al norte, llamado azimut o Az, se mide siempre en la dirección de las agujas del reloj desde el norte magnético a la línea en cuestión

Ejemplo

Azimut OA = 37°; Az OB = 118°; Az OC = 230°; Az OD =340°. .

Medición del azimut de una recta

8. Para medir el azimut de una recta, el operador se ubica en cualquier punto de la recta. Sostiene la brújula horizontalmente mirando hacia otro punto de la misma recta, por ejemplo hacia un jalón, alineando las marcas de la brújula con tal punto. Si es necesario (y ese es el caso de algunas brújulas de orientación), primero se debe hacer coincidir la graduación cero del norte de la brújula con el extremo norte de la aguja magnética. En la intersección de la línea de mira y el anillo graduado, se lee el azimut de la recta desde el punto de observación. La medición será más precisa si se limita la longitud de la línea de mira a un valor comprendido entre 40 y 120 m. De ser necesario se pueden colocar otros jalones en la línea observada.

Nota: para verificar la medición del azimut, el operador debe dar una media vuelta y observar en la dirección opuesta hacia otro punto de la misma recta. Se lee la medida de ese azimut, que deberá diferir 180° de la primera medición. Generalmente la diferencia no es exactamente de 180°, pero si la variación es pequeña se la puede ignorar y sacar el promedio de las dos mediciones. Si la diferencia es grande, entonces es probable que haya habido un error que se debe corregir (ver más adelante, Principales causas de error).

Para determinar el azimut de la recta XY, marcada con los jalones B y C, el operador se ubica con la brújula en la estación A, en la mitad de la recta. Observa con la brújula hacia el jalón B y lee el azimut AB = 65°. Ese es el azimut delantero. Verifique el valor obtenido dando una media vuelta y observando hacia atrás con la brújula, hacia el jalón C y leyendo el azimut trasero, AC = 245°. La diferencia entre los dos azimut es 245° - 65° = 180°, lo que significa que la medición es correcta.

Medición de un ángulo horizontal

9. Para medir un ángulo horizontal, el operador se ubica en el vértice del ángulo y mide el azimut de cada uno de los lados; calculando el valor del ángulo como se explica a continuación.

10. Si la dirección del norte magnético cae fuera del ángulo considerado, se debe calcular el ángulo comprendido entre las dos líneas de mira que es igual a la diferencia entre los azimut de ambas líneas. Siempre se resta el número más pequeño del mayor, sin tener en cuenta qué azimut se leyó primero. Lo importante es asegurarse de que el norte magnético no está dentro del ángulo.

Ejemplo

(a) Ángulo BAC; Az AB = 25�; Az AC = 64�;
BAC = 64�- 25� = 39�

Ejemplo

Se debe medir el ángulo EAF; se mide el azimut de AE = 23°; se mide el azimut de AF = 310°; el ángulo EAF mide 360° - (310° - 23°) = 73°.

Nota: para verificar la medición y mejorar su precisión, se debe repetir cada operación tres veces desde la misma estación. Tales mediciones deben arrojar resultados similares.

12. Si el vértice del ángulo no es accesible, se debe medir por separado el azimut de cada recta desde otro punto situado sobre la misma (ver arriba, punto 8) y calcular el ángulo como se procedió en el punto 9.

Ejemplo

Se debe medir el ángulo BAC, pero el vértice A no es accesible; en el punto X de la recta AB, se mide el azimut XB = 39°; en el punto Y de la recta AC, se mide el azimut YC = 142°. Dado que la dirección del norte magnético es exterior al ángulo BAC, la medida se calcula del siguiente modo: 142° - 39° = 103°.

Levantamiento topográfico de una poligonal

13. Cuando se debe realizar el levantamiento topográfico de una poligonal*, se mide el azimut de dos lados desde cada uno de los vértices. Así, para cada uno de los lados del polígono, se determina un azimut delantero y uno trasero. Luego se verifica la exactitud de los dos azimut, que deben diferir 180°. Si así no fuera, se resta 180° del azimut mayor y se calcula el promedio entre ese valor y el azimut más pequeño. Para llevar a cabo tal cosa, se suman los dos números y se divide por dos. A partir de los promedios así calculados para los otros azimut, es posible calcular los ángulos interiores del polígono, tal como se explica más arriba.

Nota: para llevar a cabo una verificación final, se deben sumar todos los ángulos interiores. La suma obtenida debe ser igual a (N - 2) x 180°, donde N es el n�mero de lados del pol�gono (ver Sección 30, punto 6).

Se debe realizar el levantamiento topográfico del polígono ABCDEA. A partir del vértice A se mide el azimut delantero Az AB = 40° y el trasero Az AE = 120°. El operador se desplaza luego en el sentido de las agujas del reloj hacia el vértice B y mide el azimut trasero Az BA = 222° y delantero Az BC = 110°. Procede de la misma manera para los otros tres vértices C, D y E. En total se obtienen diez medidas que se anotan en un cuaderno. (Ver en las columnas 1 y 2 de la tabla en la página siguiente, el orden en que se han tomado las medidas indicado entre paréntesis).

Se calculan los valores que aparecen en la columna 3 sustrayendo 180° del azimut mayor medido en cada vértice. Se obtienen así valores que deben ser iguales a los azimut de medida inferior que aparecen en la columna 1 o en la columna 2, de acuerdo a la posición del vértice.

• Si los valores son idénticos a los azimut de medida inferior observados (vértices C, E), tales resultados se inscriben en las columnas 4 ó 5, dependiendo del tipo de azimut de que se trate.

•  Si tales valores son diferentes (vértices A, B y D):

• Se utilizan las columnas 1 ó 2 y la columna 3 para calcular el valor promedio de los azimut más pequeños. A tal efecto se debe agregar la medida de los azimut de valor inferior que figuran en las columnas 1 ó 2 a los números de la columna 3. Se divide el total por 2 para obtener el promedio. Por ejemplo, en el vértice A, el azimut delantero de la recta AB es igual a (42 + 40) ÷ 2 = 41°. En el vértice D, el azimut trasero ED es igual a (66 + 68) ÷ 2 = 67°. En este caso se inscribe un azimut delantero en la columna 4 y un azimut trasero en la columna 5.
• Se suma 180° a los azimut más pequeños calculados para calcular los restantes azimut. Por ejemplo, en el vértice A, el azimut trasero de la recta BA es igual a 41 + 180 = 221° y, en el vértice D, el azimut delantero DE = 67 + 180 = 247°. Como se hizo precedentemente, se inscribe un azimut delantero en la columna 4 y un azimut trasero en la columna (5).

• ángulo EAB = Az AE - Az AB = 120� - 41� = 79�

• ángulo ABC = Az BA - Az BC = 221� - 109� = 112� 

• ángulo BCD = Az CB - Az CD = 289� - 185� = 104�

• ángulo CDE = 360� - (Az DE- Az DC)= 360� - (247� - 5�) = 118�

• ángulo DEA = 360�- (Az EA - Az ED) = 360� - (300� - 67�) = 127�

3. Se fija la brújula en el ángulo superior izquierdo de la hoja superior, por ejemplo con una banda de goma, con un cordel o colocándola dentro de un pequeño marco de madera, de manera que su línea de referencia 0°-180° sea paralela a una de las direcciones del cuadriculado del papel. Con un lápiz se dibuja una flecha hacia arriba, indicando la dirección del norte.

Construcción de un semi círculo graduado o transportador artesanal

Utilización del transportador para medir un ángulo que se ha dibujado

3.4 Cómo medir ángulos horizontales con el método del ángulo recto

• desde B trace la línea perpendicular BZ que corta la línea YA en el punto C;

• mida con exactitud la distancia BC = 1,12 m;
• divida este valor por 10 para obtener la tangente del ángulo XAY = 0,112;

3.5 Cómo medir ángulos horizontales con un teodolito

¿Qué es un teodolito?

1. Un teodolito, también llamado tránsito, es un instrumento costoso que utilizan los técnicos para medir ángulos horizontales con precisión. Su funcionamiento se basa en principios id�nticos a los del graf�metro, pero se trata de un aparato mucho más complicado (ver Sección 31). La mayor parte de los teodolitos están diseñados para medir también ángulos verticales (ver Secciones 47 y 59). Los componentes básicos de los teodolitos, que permiten la medición de ángulos horizontales son:

• un círculo horizontal, graduado en grados, que puede girar y cuando es necesario se lo puede dejar fijo en una posición dada;
• un plato circular que puede girar dentro de ese círculo, que presenta otras graduaciones adicionales las que permiten una lectura aun más precisa de las graduaciones del primer círculo;
• un telescopio sujeto a ese plato circular, y que gira con él; pero que también puede ser inclinado hacia arriba y hacia abajo en un plano vertical;
• un trípode (soporte de tres pies) sobre el cual se instala el teodolito para realizar mediciones.

3.6 Cómo trazar ángulos rectos o rectas perpendiculares

Definición de los ángulos rectos y de las rectas perpendiculares

Trazado de una perpendicular con el método del círculo

7. Mida sobre XY la distancia BC, entre ambos puntos señalados.

8. Divida esta distancia por 2 y mida esta nueva distancia desde el punto B. Marque el nuevo punto D, que debe estar en la mitad exacta de BC.

Trazado de una perpendicular con el método del punto mediano

Mida 2 m a ambos lados para hallar los puntos B y C

  Fije las gazas de la cuerda en las varillas B y C

Uso del método del punto de intersección con una cinta corta

21.Para aplicar este método es necesario disponer de una simple cinta de medir, por ejemplo una liana o una cuerda de 5 a 6 m de longitud, de un bastón corto con punta aguda o de una pieza metálica delgada (por ejemplo, un clavo grande) y de cinco estacas o piquetes.

22. Trace la recta XY. Sobre esta línea elija el punto A a partir del cual determinará la perpendicular, y márquelo claramente con una estaca.

23. Con una parte de la cinta de medir, mida una distancia de 2 a 3 m hacia la izquierda del punto A sobre la recta XY. Marque este punto B con otra estaca.

24. Mida la misma distancia, siempre sobre la recta XY, hacia la derecha del punto A. Marque este punto C con una estaca.

26. Coloque la gaza alrededor de la estaca que señala el punto B y luego, estirando la cinta de medir, dibuje un arco grande sobre el suelo con el otro extremo de la cinta. El arco se debe extender más allá del punto A y cubrir una buena distancia a ambos lados de la recta XY.

27. Quite la gaza de la estaca B y colóquela en la estaca C. Dibuje otro arco sobre el suelo que debe cortar el primer arco en dos puntos, D y E.

28. Marque con claridad estos dos puntos D y E, con otras estacas.

29. Quite la gaza de la estaca C y colóquela en la estaca D; llevando el otro extremo de la cinta camine hacia la estaca E y sujételo allí; verifique si la línea toca la estaca central A (recuerde que se trataba de trazar la perpendicular a partir del punto A). Si la cinta toca efectivamente el punto A, la línea DE constituye la perpendicular que hemos trazado sobre el suelo.

Confección de una cinta de agrimensor para aplicar el método 3:4:5

42. Es muy fácil confeccionar una cinta de agrimensor simple para aplicar el método 3:4:5. Este tipo de cinta a veces se llama cinta de proporción. Las indicaciones siguientes muestran cómo confeccionar una cinta corta de alrededor de 13 m de longitud, pero también se pueden aplicar a la realización de líneas más cortas o más largas.

43.Tome un trozo de cuerda de alrededor de 13 m de longitud. A pocos centímetros de uno de los extremos, ate firmemente un anillo metálico mediante un hilo grueso.

44. A partir de ese anillo, mida un trozo de cuerda de 3 m de largo y ate un segundo anillo a la cuerda.

45.Con una cinta métrica verifique que la distancia que separa el primero y el segundo anillo sea exactamente 3 m. Si no lo es, corrija la posición del segundo anillo.

46. Mida 4 m de cuerda a partir del segundo anillo y fije un tercer anillo. Verifique la longitud con la cinta métrica y si no es exacta, corrija la posición del tercer anillo.

47. Mida una longitud de 5 m a partir del tercer anillo. Ate este extremo de la cuerda al primer anillo. Verifique la longitud con una cinta métrica y corrija si fuera necesario.

Utilización de la cuerda 3:4:5 corta para trazar un ángulo recto

48. Trace la recta XY sobre la cual se quiere trazar el ángulo recto utilizando una cuerda corta. Consiga varios jalones de madera o de metal.
.
49. Fije con un jalón o una estaca el anillo comprendido entre los segmentos de 3 m y 4 m de la cuerda corta, en el punto A de la recta XY. Este punto constituirá el ángulo de un estanque de peces que se quiere construir.

52. El ángulo que se ha formado en el punto A, entre los segmentos de 3 m y de 4 m de la cuerda, es un ángulo recto.

Utilización de la cuerda 3:4:5 media para trazar un ángulo recto

53. Utilice una cuerda de alrededor de 36 m de longitud, confeccionada de la misma manera que una cuerda corta, salvo que los segmentos deben medir respectivamente 9 m, 12 m y 15 m de largo. Comenzando en el punto A, que será el sitio donde se debe trazar el ángulo recto, estire el segmento de 12 m a lo largo de la recta XY; en este punto fije el anillo de la cuerda en el jalón B.

54. Sujetando el segmento de 15 m, camine alejándose del punto B mientras el asistente regresa hacia el punto original A, con el segmento de 9 m de la cuerda.

55. Cuando estos otros dos lados del triángulo están perfectamente estirados, marque el sitio que corresponde al punto C entre los segmentos de 9 m y de 15 m. Este punto define la perpendicular AC de A.

Utilización de la cuerda 3:4:5 larga para trazar un ángulo recto

56. En una cuerda de alrededor de 65 m de largo, marque claramente el 0 m y luego 15 m, 35 m y 60 m. En el caso de esta cuerda se debe trabajar con un equipo de 3 personas.

57. La primera persona sostiene la cuerda en la marca de los 15 m, en el punto B de la recta XY, a partir de la cual se trazará la perpendicular.

58. La segunda persona sostiene el 0 m y la marca de los 60 m juntas, en el punto A de la recta XY.

Nota: las distancias se deben verificar al menos dos veces para estar seguros de que no haya errores.

62. La tercera persona, sosteniendo la cinta en el punto que corresponde a los 50 m, camina alejándose de XY hasta que la cinta esté completamente tensa. En ese sitio marca claramente el punto C. Ese punto C define el segundo eje WZ, perpendicular al primero.

Trazado de una perpendicular con la escuadra de agrimensor

63. La escuadra de agrimensor es un instrumento visual poco costoso que es muy útil para trazar ángulos rectos. Existen varios modelos; uno es la escuadra octagonal con hendiduras perpendiculares y otro es el modelo de visual hacia adelante y hacia atrás. Las escuadras de agrimensor durante el uso deben estar firmemente sujetas a un soporte, generalmente una estaca clavada verticalmente en el suelo. Estos instrumentos son eficientes si no se superan los 30 ó 40 m. Es posible conseguir una escuadra de agrimensor en alguna oficina técnica de topografía, pero también se puede construir artesanalmente, tal como se explica a continuación.

Nota: la escuadra de agrimensor octogonal tiene hendiduras adicionales cortadas a 45°, que son muy útiles para trazar ángulos de 45° (vea, por ejemplo, el punto 7, Sección 29).

Construcción artesanal de una escuadra de agrimensor

66. Coloque los traveseros en ángulo recto y fíjelos mediante un tornillo, en esa posición, a la parte superior de una estaca vertical de 1.50 m de altura. Si coloca unas arandelas entre las piezas de madera y la estaca, luego será más fácil ajustar los listones.

Ajuste de la escuadra de agrimensor artesanal

67. Trace un �ngulo recto en el suelo utilizando una cuerda 3:4:5 larga (vea puntos 56 a 59 de esta Sección). Los lados del triángulo tendrán respectivamente 15 m, 20 m y 25 m de longitud.

68. Coloque una estaca corta en el punto A, el vértice del ángulo recto entre los lados de 15 m y 20 m. Instale a continuación dos jalones en los puntos B y C para marcar los lados del ángulo.

69. Coloque la escuadra en su soporte vertical en el punto A.

70. Disponga uno de los traveseros, alineado con el eje del lado AB y mire hacia el punto B.

71. Sin mover el soporte vertical, alinee el segundo travesero sobre el lado AC del ángulo y mire hacia el punto C. Ajuste suavemente el tornillo para mantener los listones en su lugar.

Trazado de paralelas con el método 3:4:5

Un modo de trazar paralelas consiste en utilizar la regla 3:4:5 (ver punto 39 más arriba). Se procede de la siguiente manera:

2. Sobre la línea dada XY, se seleccionan dos puntos A y B bastante alejados uno de otro (por ejemplo, separados por 20 a 30 m) y se marca su ubicación con estacas.

3. Desde cada uno de esos puntos se traza una perpendicular utilizando el método 3:4:5. Recuerde que la longitud de la cuerda de agrimensor utilizada depende de la longitud de la perpendicular que se debe trazar (ver Sección 36, punto 35).

4. Prolongue ambas perpendiculares hasta alcanzar la longitud requerida. Luego, mida en cada una de ellas una distancia igual desde la recta dada XY y marque los dos puntos, C y D.

5. En estos dos puntos trace la recta WZ. Esta nueva recta será paralela a la línea XY.

Trazado de paralelas con el m�todo de las rectas convergentes

La aplicación del método llamado de rectas convergentes no requiere el trazado de perpendiculares; sino que es suficiente la medición de distancias. De todos modos, es un método que no se aplica si se quiere conocer la posición exacta de la paralela* que se traza. En cambio es útil cuando la paralela no está demasiado alejada, por ejemplo cuando se debe prolongar una l�nea m�s all� de un obst�culo (ver Sección 1.7). Proceda de la siguiente manera:

6. Trace la recta XY. Elija un punto cualquiera sobre la paralela que se debe trazar. Marque claramente la ubicación del punto A con un jalón.

7.A partir del punto A, trace la línea oblicua AZ. Marque la ubicación del punto B en la intersección de la recta AZ con la recta original XY.

Nota: una línea oblicua es una recta que no es ni paralela ni perpendicular.

8. Mida la longitud del segmento AB de la línea oblicua.

9. Divida esta longitud por dos. Mida esta distancia a partir del punto A y marque la ubicación del punto C en el medio del segmento.

10. Elija un punto D de la recta inicial XY, opuesto al punto A tanto como sea posible.

11. Desde el punto D, trace una línea recta DW que pase por el punto C.

12. Mida la distancia DC.

13. Desde el punto C de la línea DW, mida una distancia igual a la distancia DC. Marque el punto E en el extremo de ese segmento.

14. Una los puntos E y A mediante la recta KL. Esta línea es paralela a la recta XY.